Бином Ньютона

Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

$(a+b{)}^n=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-<!--\; -\; -->k}{b}^k=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})a^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})a^{n-<!--\; -\; -->1}b+\cdots <!--\; \cdots \; -->+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-<!--\; -\; -->k}{b}^k+\cdots <!--\; \cdots \; -->+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})b^n,$$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}={\binom {n}{0}}a^{n}+{\binom {n}{1}}a^{n-1}b+\dots +{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}+\dots +{\binom {n}{n}}b^{n},$

где $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\equiv <!--\; \equiv \; -->C_n^k=\frac{n!}{k!(n-<!--\; -\; -->k)!}$${\binom {n}{k}}\equiv C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$ — биномиальные коэффициенты, $n$$n$ — неотрицательное целое число.

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа). В общем случае бином представляет собой бесконечный ряд^[⇨].

Примеры:

${\begin{aligned}(x+y)^{2}&=x^{2}+2xy+y^{2},\\(x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\(x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\(x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}.\end{aligned}}$

Для быстрого разложения часто пользуются треугольником Паскаля.

ДоказательствоПравить

Чтобы умножить скобки, нужно взять из каждой по одному слагаемому и все полученные произведения сложить. Для получения степени $a^k{b}^{n-<!--\; -\; -->k}$$a^{k}b^{n-k}$  нужно из $k$$k$  скобок выбрать $a$$a$ , а из оставшихся $n-<!--\; -\; -->k$$n-k$  выбрать $b$$b$ . Вариантов выбрать $a$$a$  в первый раз столько же, сколько и скобок, то есть $n$$n$ . Затем, соответственно, $n-<!--\; -\; -->1$$n-1$ , и так далее до $n-<!--\; -\; -->k+1$$n-k+1$  на $k$$k$ -м шаге. Однако для каждого варианта посчитаются и все его порядковые перестановки, число которых $k!$$k!$ . Нормируя, получаем в точности $C_n^k$$C_{n}^{k}$ . Ниже приводится доказательство по индукции.

Доказательство

Докажем формулу бинома Ньютона индукцией по $n$$n$ :

База индукции: $n=0$$n=0$ 

$(a+b{)}^0=1=(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0})a^0{b}^0$$(a+b)^0=1=\binom{0}{0}a^0b^0$ 

Шаг индукции: Пусть утверждение для $n$$n$  верно:

$(a+b{)}^n=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-<!--\; -\; -->k}{b}^k$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k } a ^ {n-k} b ^ {k}$ 

Тогда надо доказать утверждение для $n+1$$n+1$ :

$(a+b{)}^{n+1}=\underset{k=0}{\overset{n+1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})a^{n+1-<!--\; -\; -->k}{b}^k$$(a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} {{n+1} \choose k } a ^ {n+1-k} b ^ {k}$ 

Начнём доказательство:

$(a+b{)}^{n+1}=(a+b)(a+b{)}^n=(a+b)\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-<!--\; -\; -->k}{b}^k=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-<!--\; -\; -->k+1}{b}^k+\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-<!--\; -\; -->k}{b}^{k+1}$$(a+b)^{n+1} = (a+b)(a+b)^n=(a+b)\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a ^ {n-k} b ^ {k} = \sum_{k=0}^n {n \choose k} {a ^ {n - k + 1} b ^ {k}}\quad + \quad \sum_{k=0}^n {n \choose k} a ^ {n-k} b ^ {k+1}$ 

Извлечём из первой суммы слагаемое при $k=0$$k = 0$ 

$\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-<!--\; -\; -->k+1}{b}^k=a^{n+1}+\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-<!--\; -\; -->k+1}{b}^k$$\sum_{k=0}^n {n \choose k} {a ^ {n - k + 1} b ^ {k}} = a^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose k} a ^ {n - k + 1} b ^ k$ 

Извлечём из второй суммы слагаемое при $k=n$$k=n$ 

$\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-<!--\; -\; -->k}{b}^{k+1}=b^{n+1}+\underset{k=0}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-<!--\; -\; -->k}{b}^{k+1}=b^{n+1}+\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-<!--\; -\; -->1})a^{n-<!--\; -\; -->k+1}{b}^k$$\sum_{k=0}^n {n \choose k} a ^ {n-k} b ^ {k+1} = b^{n+1} + \sum_{k=0}^{n-1}{n \choose k}a^{n - k} b ^ {k+1} = b^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose {k-1}} a^{n - k + 1} b ^ {k}$ 

Теперь сложим преобразованные суммы:

$a^{n+1}+\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-<!--\; -\; -->k+1}{b}^k+b^{n+1}+\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-<!--\; -\; -->1})a^{n-<!--\; -\; -->k+1}{b}^k=a^{n+1}+b^{n+1}+\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left((\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-<!--\; -\; -->1})\right)a^{n-<!--\; -\; -->k+1}{b}^k=$$a^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose k} a ^ {n - k + 1} b ^ k \quad + \quad b^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose {k-1}} a^{n - k + 1} b ^ {k} = a ^ {n + 1} + b ^ {n + 1} + \sum_{k = 1}^n \left( {n \choose k} + {n \choose {k - 1} } \right) a ^ {n - k + 1} b ^ k =$ 

$=\underset{k=0}{\overset{0}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})a^{n+1-<!--\; -\; -->k}{b}^k+\underset{k=n+1}{\overset{n+1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})a^{n+1-<!--\; -\; -->k}{b}^k+\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})a^{n+1-<!--\; -\; -->k}{b}^k=\underset{k=0}{\overset{n+1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})a^{n+1-<!--\; -\; -->k}{b}^k$$=\sum_{k=0}^0 {n+1 \choose k} a ^ {n + 1 - k} b ^ k \quad + \quad \sum_{k = n + 1}^{n+1} {n+1 \choose k} a^{n + 1- k}b^k \quad + \quad \sum_{k = 1} ^ {n} {n+1 \choose k} a ^ {n + 1 - k} b ^ k= \sum_{k=0}^{n+1} {{n+1} \choose k } a ^ {n+1-k} b ^ {k}$ 

Что и требовалось доказать. ■

ОбобщенияПравить

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции $(1+x{)}^r$$(1+x)^{r}$  в ряд Тейлора:

$(1+x{)}^r=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{k})x^k,$$(1+x)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {r}{k}}x^{k},$ 

где $r$$r$  может быть произвольным комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{k})=\frac{1}{k!}\underset{n=0}{\overset{k-<!--\; -\; -->1}{\prod <!--\; \prod \; -->}}(r-<!--\; -\; -->n)=\frac{r(r-<!--\; -\; -->1)(r-<!--\; -\; -->2)\cdots <!--\; \cdots \; -->(r-<!--\; -\; -->(k-<!--\; -\; -->1))}{k!}.$${\binom {r}{k}}={\frac {1}{k!}}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-(k-1))}{k!}}.$ 

При этом ряд

$(1+z{)}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=1+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}z+\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1)}{2}{z}^2+\dots <!--\; \dots \; -->+\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1)\cdots <!--\; \cdots \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->n+1)}{n!}{z}^n+\dots <!--\; \dots \; -->$$(1+z)^{\alpha }=1+\alpha z+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}z^{2}+\ldots +{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}z^{n}+\ldots$ 

сходится при $|z|⩽<!--\; ⩽\; -->1$$|z|\leqslant 1$ .

В частности, при $z=\frac{1}{m}$$z={\frac {1}{m}}$  и $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=x\cdot <!--\; \cdot \; -->m$$\alpha =x\cdot m$  получается тождество

${\left(1+\frac{1}{m}\right)}^{xm}=1+x+\frac{xm(xm-<!--\; -\; -->1)}{2m^2}+\dots <!--\; \dots \; -->+\frac{xm(xm-<!--\; -\; -->1)\cdots <!--\; \cdots \; -->(xm-<!--\; -\; -->n+1)}{n!m^n}+\dots <!--\; \dots \; -->.$$\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{xm}=1+x+{\frac {xm(xm-1)}{2m^{2}}}+\ldots +{\frac {xm(xm-1)\cdots (xm-n+1)}{n!\,m^{n}}}+\ldots .$ 

Переходя к пределу при $m\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$m\to \infty$  и используя второй замечательный предел $\underset{m\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\left(1+\frac{1}{m}\right)}^m=e$$\lim _{m\to \infty }\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}=e$ , выводим тождество

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\dots <!--\; \dots \; -->+\frac{x^n}{n!}+\dots <!--\; \dots \; -->,$$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+\ldots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\ldots ,$ 

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.

Мультиномиальная теоремаПравить

Основная статья: Мультиномиальный коэффициент

Бином Ньютона может быть обобщён до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:

$(x_1+x_2+\dots <!--\; \dots \; -->+x_m{)}^n=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{k_j⩾<!--\; ⩾\; -->0}{k_1+k_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+k_m=n}}{\sum <!--\; \sum \; -->}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots <!--\; \dots \; -->,k_m})x_1^{k_1}\dots <!--\; \dots \; -->x_m^{k_m},$$(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{m})^{n}=\sum \limits _{k_{j}\geqslant 0 \atop k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}x_{1}^{k_{1}}\ldots x_{m}^{k_{m}},$ 

где

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots <!--\; \dots \; -->,k_m})=\frac{n!}{k_1!k_2!\dots <!--\; \dots \; -->k_m!}$${\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\ldots k_{m}!}}$ 

суть Мультиномиальные коэффициенты. Сумма берётся по всем неотрицательным целым индексам $k_j$$k_j$ , сумма которых равна $n$$n$  (то есть по всем композициям числа $n$$n$  длины $m$$m$ ). При использовании полинома Ньютона считается, что выражения $x_j^0=1$$x_{j}^{0}=1$ , даже если $x_j=0$$x_{j}=0$ .

Мультиномиальная теорема легко доказывается либо индукцией по $n$$n$ , либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла полиномиального коэффициента.

При $m=2$$m=2$ , выражая $k_2=n-<!--\; -\; -->k_1$$k_{2}=n-k_{1}$ , получаем бином Ньютона.

Полные полиномы БеллаПравить

Пусть $B_n(a_s)=B_n(a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n)$$B_{n}(a_{s})=B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n})$  и $B_0=1$$B_{0}=1$ , тогда полные полиномы Белла обладают биномиальным разложением:

$B_n(a_s+b_s)=\underset{i+j=n}{\sum <!--\; \sum \; -->}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i,j})B_i(a_s)B_j(b_s).$$B_{n}(a_{s}+b_{s})=\sum _{i+j=n}{\binom {n}{i,j}}B_{i}(a_{s})B_{j}(b_{s}).$ 

ИсторияПравить

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также персидским математикам ат-Туси (XIII век) и аль-Каши (XV век). В середине XVI века Михаэль Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18.

Исаак Ньютон около 1665 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). На основе биномиального разложения Ньютон, а позднее Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

В художественной литературеПравить

В художественной литературе «бином Ньютона» часто фигурирует как синоним чего-то очень сложного (нередко иронически). Например, в романе «Мастер и Маргарита» М. А. Булгакова: «подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвёртой палате».

В повести «Последнее дело Холмса» Шерлок Холмс рассказывает о профессоре Мориарти, в частности, следующее: «…когда ему исполнился 21 год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность…»

См. такжеПравить

• Биномиальное распределение
• Биномиальный коэффициент
• Треугольник Паскаля
• Формулы сокращённого умножения многочленов — наиболее частые частные случаи бинома Ньютона

ЛитератураПравить

• Бином Ньютона // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

СсылкиПравить

• Ньютона бином // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.