Фильтр (математика)

Фильтр — подмножество частично упорядоченного множества, удовлетворяющее определённым условиям. Понятие происходит из общей топологии, где возникают фильтры на решётке всех подмножеств какого-либо множества, упорядоченных отношением включения. Фильтр — понятие, двойственное идеалу.

Фильтры были введены Анри Картаном в 1937 году и впоследствии использованы Никола Бурбаки в их книге Topologie Générale как альтернатива аналогичному понятию сети, разработанному в 1922 году Э. Г. Муром и Г. Л. Смитом.

Определение в рамках теории решётокПравить

Подмножество $F$$F$  полурешётки $L$$L$  называется фильтром, если

• для всех $a,b\in <!--\; \in \; -->F$$a,b\in F$ , $a\wedge <!--\; \wedge \; -->b\in <!--\; \in \; -->F$$a\land b\in F$ 
• для всех $a\in <!--\; \in \; -->F$$a\in F$  и $b$$b$  таких, что $a\le <!--\; \le \; -->b$$a\leq b$ , $b\in <!--\; \in \; -->F$$b\in F$ 

Фильтр называется собственным, если $F\ne <!--\; \ne \; -->L$$F\neq L$ .

Собственный фильтр такой, что не существует других собственных фильтров, его содержащих, называется ультрафильтром или максимальным фильтром.

Фильтр $F$$F$  решётки называется простым, если в нём для всех $a,b\in <!--\; \in \; -->L$$a,b\in L$  из того, что $a\vee <!--\; \vee \; -->b\in <!--\; \in \; -->F$$a\lor b\in F$ , следует, что либо $a\in <!--\; \in \; -->F$$a\in F$ , либо $b\in <!--\; \in \; -->F$$b\in F$ .

Минимальный фильтр, содержащий данный элемент $x$$x$ , называется главным фильтром, сгенерированным главным элементом $x$$x$ .

Если $F$$F$  фильтр, то $L\mathrm{\setminus <!--\; \setminus \; -->}F$$L\backslash F$  является идеалом.

Фильтр на булевой алгебреПравить

Фильтром на булевой алгебре $M$$M$  называется подмножество $D\subseteq <!--\; \subseteq \; -->M$$D\subseteq M$ , для которого выполняются условия:

• $D\ne <!--\; \ne \; -->\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$$D\neq \varnothing$ ,
• $x,y\in <!--\; \in \; -->D\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->(x\cap <!--\; \cap \; -->y)\in <!--\; \in \; -->D$$x,y\in D\Rightarrow (x\cap y)\in D$ ,
• $x\in <!--\; \in \; -->D,x⩽<!--\; ⩽\; -->y\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->y\in <!--\; \in \; -->D$$x\in D,x\leqslant y\Rightarrow y\in D$ ,
• $x\in <!--\; \in \; -->D\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}\notin <!--\; \notin \; -->D$$x\in D\Rightarrow {\bar {x}}\notin D$ .

Фильтр $D$$D$  на булевой алгебре $M$$M$  называется ультрафильтром, если выполняется условие:

• $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->M:x\in <!--\; \in \; -->D\vee <!--\; \vee \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}\in <!--\; \in \; -->D$$\forall x\in M:x\in D\vee {\bar {x}}\in D$ .

Фильтр $D$$D$  на булевой алгебре $M$$M$  называется простым, если он удовлетворяет условию:

• $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x,y\in <!--\; \in \; -->M:(x\cup <!--\; \cup \; -->y)\in <!--\; \in \; -->D\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->x\in <!--\; \in \; -->D\vee <!--\; \vee \; -->y\in <!--\; \in \; -->D$$\forall x,y\in M:(x\cup y)\in D\Rightarrow x\in D\vee y\in D$ .

Фильтр $D$$D$  на булевой алгебре $M$$M$  называется максимальным, если он не содержится ни в каком другом фильтре на $M$$M$ .

Фильтры на множествахПравить

Частным случаем фильтра является фильтр на множестве. Для каждого множества $X$$X$  можно определить решётку его подмножеств $(\mathcal{P}(X),\subseteq <!--\; \subseteq \; -->)$$({\mathcal {P}}(X),\subseteq )$ . Тогда фильтр $\mathfrak{F}$$\mathfrak F$  на $X$$X$  определяется как подмножество $\mathcal{P}(X)$${\mathcal {P}}(X)$ , удовлетворяющее следующим условиям:

• $\mathfrak{F}\ne <!--\; \ne \; -->\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$${\mathfrak {F}}\neq \varnothing$ 
• $\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}\notin <!--\; \notin \; -->\mathfrak{F}$$\varnothing \notin {\mathfrak {F}}$ 
• пересечение любых двух элементов $\mathfrak{F}$$\mathfrak F$  лежит в $\mathfrak{F}$$\mathfrak F$ 
• надмножество любого элемента $\mathfrak{F}$$\mathfrak F$  лежит в $\mathfrak{F}$$\mathfrak F$ 

Фильтр вида ${\mathfrak{F}}_Z=\{Y\in <!--\; \in \; -->\mathcal{P}(X)\mid <!--\; \mid \; -->Z\subseteq <!--\; \subseteq \; -->Y\}$${\mathfrak {F}}_{Z}=\{Y\in {\mathcal {P}}(X)\mid Z\subseteq Y\}$  называется фильтром, порожденным множеством $Z$$Z$ . Фильтр, порожденный множеством из одного элемента, называется главным. Главный фильтр является ультрафильтром.

База фильтраПравить

Пусть $\mathfrak{F}$$\mathfrak F$  — фильтр на множестве $X$$X$ . Семейство $\mathfrak{B}$${\mathfrak B}$  подмножеств $B\subset <!--\; \subset \; -->\mathfrak{F}$$B\subset {\mathfrak {F}}$  называется базой (базисом) фильтра $\mathfrak{F}$$\mathfrak F$ , если любой элемент фильтра $\mathfrak{F}$$\mathfrak F$  содержит некоторый элемент базы $\mathfrak{B}$${\mathfrak B}$ , то есть для любого $Y\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{F}$$Y\in {\mathfrak {F}}$  существует $B\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{B}$$B\in {\mathfrak {B}}$  такое, что $B\subset <!--\; \subset \; -->Y$$B\subset Y$ . При этом фильтр $\mathfrak{F}$$\mathfrak F$  совпадает с семейством всевозможных надмножеств множеств из $\mathfrak{B}$${\mathfrak B}$ . В частности, фильтры, имеющие общую базу, совпадают. Говорят также, что база $\mathfrak{B}$${\mathfrak B}$  порождает фильтр $\mathfrak{F}$$\mathfrak F$ 

Для того, чтобы семейство $\mathfrak{B}=\{B\}$${\mathfrak {B}}=\{B\}$  подмножеств множества $X$$X$  являлось базой некоторого фильтра на $X$$X$  необходимо и достаточно выполнение следующих условий (аксиом базы):

• $\mathfrak{B}\ne <!--\; \ne \; -->\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$${\mathfrak {B}}\neq \varnothing$ ;
• $\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}\notin \mathfrak{B}$$\varnothing \not \in {\mathfrak {B}}$ ;
• для любых $A,B\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{B}$$A,B\in {\mathfrak {B}}$  существует $C\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{B}$$C\in {\mathfrak {B}}$  такое, что $A\cap <!--\; \cap \; -->B\supset <!--\; \supset \; -->C$$A\cap B\supset C$ .

Две базы $\mathfrak{B}$${\mathfrak B}$  и ${\mathfrak{B}}^{\prime }$${\mathfrak B}'$  называются эквивалентными, если любой элемент $B\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{B}$$B\in {\mathfrak {B}}$  содержит в себе некоторый элемент $B^{\prime }\in <!--\; \in \; -->{\mathfrak{B}}^{\prime }$$B'\in {\mathfrak {B}}'$ , и наоборот, любой элемент $B^{\prime }\in <!--\; \in \; -->{\mathfrak{B}}^{\prime }$$B'\in {\mathfrak {B}}'$  содержит в себе некоторый элемент $B\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{B}$$B\in {\mathfrak {B}}$ .

Эквивалентные базы порождают один и тот же фильтр. Среди всех баз, эквивалентных данной базе $\mathfrak{B}$${\mathfrak B}$  существует максимальная по включению база, а именно, порождаемый этой базой фильтр $\mathfrak{F}$$\mathfrak F$ . Таким образом, между классами эквивалентных баз и фильтрами существует естественное взаимно-однозначное соответствие.

Сравнение фильтровПравить

Пусть на множестве $X$$X$  заданы два фильтра $\mathfrak{F}$$\mathfrak F$  и ${\mathfrak{F}}^{\prime }$${\mathfrak {F}}'$ . Говорят, что фильтр ${\mathfrak{F}}^{\prime }$${\mathfrak {F}}'$  мажорирует фильтр $\mathfrak{F}$$\mathfrak F$  (${\mathfrak{F}}^{\prime }$${\mathfrak {F}}'$  сильнее $\mathfrak{F}$$\mathfrak F$ , ${\mathfrak{F}}^{\prime }$${\mathfrak {F}}'$  тоньше $\mathfrak{F}$$\mathfrak F$ ), если ${\mathfrak{F}}^{\prime }\supset <!--\; \supset \; -->\mathfrak{F}$${\mathfrak {F}}'\supset {\mathfrak {F}}$ . В этом случае также говорят, что фильтр $\mathfrak{F}$$\mathfrak F$  мажорируется фильтром ${\mathfrak{F}}^{\prime }$${\mathfrak {F}}'$  ($\mathfrak{F}$$\mathfrak F$  слабее ${\mathfrak{F}}^{\prime }$${\mathfrak {F}}'$ , $\mathfrak{F}$$\mathfrak F$  грубее ${\mathfrak{F}}^{\prime }$${\mathfrak {F}}'$ ).

Говорят, что база ${\mathfrak{B}}^{\prime }$${\mathfrak B}'$  сильнее базы $\mathfrak{B}$${\mathfrak B}$ , и записывают ${\mathfrak{B}}^{\prime }⩾<!--\; ⩾\; -->\mathfrak{B}$${\mathfrak {B}}'\geqslant {\mathfrak {B}}$ , если любой элемент $B\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{B}$$B\in {\mathfrak {B}}$  содержит в себе некоторый элемент $B^{\prime }\in <!--\; \in \; -->{\mathfrak{B}}^{\prime }$$B'\in {\mathfrak {B}}'$ . База ${\mathfrak{B}}^{\prime }$${\mathfrak B}'$  сильнее базы $\mathfrak{B}$${\mathfrak B}$  тогда и только тогда, когда фильтр ${\mathfrak{F}}^{\prime }$${\mathfrak {F}}'$ , порожденный базой ${\mathfrak{B}}^{\prime }$${\mathfrak B}'$ , сильнее фильтра $\mathfrak{F}$$\mathfrak F$ , порожденного базой $\mathfrak{B}$${\mathfrak B}$ .

Базы $\mathfrak{B}$${\mathfrak B}$  и ${\mathfrak{B}}^{\prime }$${\mathfrak B}'$  эквивалентны тогда и только тогда, когда одновременно ${\mathfrak{B}}^{\prime }⩾<!--\; ⩾\; -->\mathfrak{B}$${\mathfrak {B}}'\geqslant {\mathfrak {B}}$  и $\mathfrak{B}⩾<!--\; ⩾\; -->{\mathfrak{B}}^{\prime }$${\mathfrak {B}}\geqslant {\mathfrak {B}}'$ .

Фильтры в топологических пространствахПравить

Пусть $(X,\mathcal{T})$$(X,{\mathcal {T}})$  — топологическое пространство и $\mathfrak{F}$$\mathfrak F$  — фильтр на множестве $X$$X$ . Точка $a\in <!--\; \in \; -->X$$a\in X$  называется пределом фильтра $\mathfrak{F}$$\mathfrak F$ , если любая окрестность $V(a)$$V(a)$  точки $a$$a$  принадлежит фильтру $\mathfrak{F}$$\mathfrak F$ . Обозначение: $a\in <!--\; \in \; -->lim\mathfrak{F}$$a\in \lim {\mathfrak {F}}$ . Если $a$$a$  является единственным пределом фильтра, то также пишут $a=lim\mathfrak{F}$$a=\lim {\mathfrak {F}}$ .

Для фильтра $\mathfrak{F}$$\mathfrak F$ , порожденного базой $\mathfrak{B}$${\mathfrak B}$ , точка $a$$a$  является его пределом тогда и только тогда, когда любая окрестность $V(a)$$V(a)$  целиком содержит некоторое множество из $\mathfrak{B}$${\mathfrak B}$ .

В хаусдорфовом топологическом пространстве фильтр может иметь не более одного предела. Верно и обратное: если каждый фильтр имеет не более одного предела, то пространство хаусдорфово.

Точка $a\in <!--\; \in \; -->X$$a\in X$  называется предельной точкой (точкой прикосновения, частичным пределом) фильтра $\mathfrak{F}$$\mathfrak F$ , если $a$$a$  принадлежит замыканию любого множества из $\mathfrak{F}$$\mathfrak F$ , то есть $a\in <!--\; \in \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Y}$$a\in {\overline {Y}}$  для всех $Y\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{F}$$Y\in {\mathfrak {F}}$ . Равносильно, для любой окрестности $V(a)$$V(a)$  точки $a$$a$  и для любого $Y\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{F}$$Y\in {\mathfrak {F}}$  выполнено $V(a)\cap <!--\; \cap \; -->Y\ne <!--\; \ne \; -->\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$$V(a)\cap Y\neq \varnothing$ . Любая предельная точка ультрафильтра является его пределом.

В компактном топологическом пространстве любой фильтр имеет предельную точку, а любой ультрафильтр имеет предел.

ПримерыПравить

• Множество всех окрестностей точки топологического пространства является фильтром;
• Если $X$$X$  — бесконечное множество, то множество дополнений конечных множеств является фильтром. Такой фильтр называется конечным фильтром или фильтром Фреше.
• Если $X$$X$  — бесконечное множество мощности $\mathfrak{m}$$\mathfrak m$ , то множество дополнений множеств мощности $<{\mathfrak {m}}$  тоже является фильтром.

См. такжеПравить

• Предел функции вдоль фильтра
• Ультрафильтр
• Чехстоунова компактификация

ЛитератураПравить

• Александрян Р. А., Мирзаханян Э. А. Общая топология. — М.: Высшая школа, 1979. — 336 с.
• Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — М.: Наука, 1975. — 240 с.