Асимптотическое разложение

Асимптотическое разложение функции f(x) — формальный функциональный ряд, такой, что сумма произвольного конечного числа членов этого ряда приближает (аппроксимирует) функцию f(x) в окрестности некоторой (возможно, бесконечно удалённой) её предельной точки. Понятие асимптотического разложения функции и асимптотического ряда были введены Анри Пуанкаре при разрешении задач небесной механики. Отдельные случаи асимптотического разложения были открыты и применялись ещё в XVIII в. Асимптотические разложения и ряды играют важную роль в различных задачах математики, механики и физики.

ОпределениеПравить

Пусть функции ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n$$\varphi_{n}$  удовлетворяют свойству: ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{n+1}(x)=o({\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n(x))(x\to <!--\; \to \; -->L)\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$\varphi _{{n+1}}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ (x\rightarrow L)\quad \forall n\in \mathbb{N}$  для некоторой предельной точки $L$$L$  области определения функции f(x). Последовательность функций ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n$$\varphi_{n}$ , удовлетворяющая указанным условиям, называется асимптотической последовательностью. Ряд: $\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n(x)$$\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}\varphi _{{n}}(x)$ , для которого выполняются условия :$f(x)-<!--\; -\; -->\underset{n=0}{\overset{N-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n(x)=O({\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_N(x))(x\to <!--\; \to \; -->L)$$f(x)-\sum _{{n=0}}^{{N-1}}a_{n}\varphi _{{n}}(x)=O(\varphi _{{N}}(x))\ (x\rightarrow L)$ 

или эквивалентно:

$f(x)-<!--\; -\; -->\underset{n=0}{\overset{N-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n(x)=o({\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{N-<!--\; -\; -->1}(x))(x\to <!--\; \to \; -->L).$$f(x)-\sum _{{n=0}}^{{N-1}}a_{n}\varphi _{{n}}(x)=o(\varphi _{{N-1}}(x))\ (x\rightarrow L).$ 

называется асимптотическим разложением функции f (x) или её асимптотическим рядом. Этот факт отражается:

$f(x)\sim <!--\; \sim \; -->\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n(x)(x\to <!--\; \to \; -->L).$$f(x)\sim \sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)\ (x\rightarrow L).$ 

Отличие сходящегося ряда и асимптотического разложения для функции $f(x)$$f(x)$  можно проиллюстрировать так: для сходящегося ряда при любом фиксированном $x$$x$  ряд сходится в значение $f(x)$$f(x)$  при $N\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$N\rightarrow \infty$ , тогда как при асимптотическом разложении при фиксированном $N$$N$  ряд сходится в значение $f(x)$$f(x)$  в пределе $x\to <!--\; \to \; -->L$$x\rightarrow L$  ($L$$L$  может быть и бесконечным).

Асимптотическое разложение ЭрдейиПравить

Асимптотическое разложение Эрдейи имеет более общее определение. Ряд $\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n(x)$$\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}\varphi _{{n}}(x)$  называется асимптотическим разложением Эрдейи функции f (x), если существует такая асимптотическая последовательность ${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_n$$\psi _{{n}}$ , что

$f(x)-<!--\; -\; -->\underset{n=0}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n(x)=o({\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_N(x))(x\to <!--\; \to \; -->L).$$f(x)-\sum _{{n=0}}^{{N}}a_{n}\varphi _{{n}}(x)=o(\psi _{{N}}(x))\ (x\rightarrow L).$ 

Этот факт записывается в следующем виде:

$f(x)\sim <!--\; \sim \; -->\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n(x)(x\to <!--\; \to \; -->L)\{{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_n(x)\}.$$f(x)\sim \sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)\ (x\rightarrow L)\quad \{\psi _{{n}}(x)\}.$ 

Такое обобщённое разложение имеет много общих свойств с обычным асимптотическим разложением, однако теория такого разложения плохо изучена, часто мало полезна для числовых вычислений и редко используется.

ПримерыПравить

• Гамма-функция

$\frac{e^x}{x^x\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}x}}\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(x+1)\sim <!--\; \sim \; -->1+\frac{1}{12x}+\frac{1}{288x^2}-<!--\; -\; -->\frac{139}{51840x^3}-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->(x\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$${\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\rightarrow \infty )$ 

• Интегральная показательная функция

$x{e}^x{E}_1(x)\sim <!--\; \sim \; -->\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^{n}n!}{x^n}(x\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\rightarrow \infty )$ 

• Дзета-функция Римана

$\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s)\sim <!--\; \sim \; -->\underset{n=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{n}^{-<!--\; -\; -->s}-<!--\; -\; -->\frac{N^{1-<!--\; -\; -->s}}{s-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}{N}^{-<!--\; -\; -->s}+N^{-<!--\; -\; -->s}\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{B_{2m}{s}^{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{2m-<!--\; -\; -->1}}}{(2m)!N^{2m-<!--\; -\; -->1}}$$\zeta (s)\sim \sum _{n=1}^{N}n^{-s}-{\frac {N^{1-s}}{s-1}}-{\frac {1}{2}}N^{-s}+N^{-s}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {B_{2m}s^{\overline {2m-1}}}{(2m)!N^{2m-1}}}$ 
где $B_{2m}$$B_{{2m}}$  — числа Бернулли и $s^{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{2m-<!--\; -\; -->1}}=s(s+1)(s+2)\cdots <!--\; \cdots \; -->(s+2m-<!--\; -\; -->2)$$s^{{\overline {2m-1}}}=s(s+1)(s+2)\cdots (s+2m-2)$ . Это разложение справедливо для всех комплексных s.

• Функция ошибок

$\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}x{e}^{x^2}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{c}(x)\sim <!--\; \sim \; -->1+\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^n\frac{(2n)!}{n!(2x{)}^{2n}}.$${\sqrt {\pi }}xe^{{x^{2}}}{{\rm {erfc}}}(x)\sim 1+\sum _{{n=1}}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!(2x)^{{2n}}}}.$ 

• Примером асимптотического разложения Эрдейи, которое не является обычным разложением, служит:

$\frac{\sin <!--\; \; -->(x)}{x}\sim <!--\; \sim \; -->\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{n!e^{-<!--\; -\; -->(n+1)x/2n}}{(\log <!--\; \; -->x{)}^n}(x\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})\{(\log <!--\; \; -->x{)}^{-<!--\; -\; -->n}\}.$${\frac {\sin(x)}{x}}\sim \sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {n!e^{{-(n+1)x/2n}}}{(\log x)^{n}}}\quad (x\rightarrow \infty )\ \{(\log x)^{{-n}}\}.$ 

ЛитератураПравить

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 2 — М.: Мир, 1985.
• Эрдейи А. Асимптотические разложения / Пер. с англ. — М., 1962
• Копсон Э. Асимптотические разложения / Пер. с англ. — М., Мир, 1966.
• Bleistein, N. and Handlesman, R., Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, New York, 1975