Аппроксимация диэлектрической функции

Аппроксимации диэлектрической функции — определение аналитического выражения для диэлектрической проницаемости или показателя преломления среды в оптике.

Следующие модели используются для аппроксимации:

Классическая дисперсионная модель аппроксимации диэлектрической функции

$\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}={\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}+\frac{({\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_s-<!--\; -\; -->{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}){\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_t^2}{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_t^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2+i{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_0\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}+\frac{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_p^2}{-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2+i{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_D\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}+\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{f_j{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{0j}}{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{0j}^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2+i{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}},$$\varepsilon =\varepsilon _{\infty }+{\frac {(\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty })\omega _{t}^{2}}{\omega _{t}^{2}-\omega ^{2}+i\Gamma _{0}\omega }}+{\frac {\omega _{p}^{2}}{-\omega ^{2}+i\Gamma _{D}\omega }}+\sum _{j=1}^{n}{\frac {f_{j}\omega _{0j}}{\omega _{0j}^{2}-\omega ^{2}+i\gamma _{j}\omega }},$

где первые два слагаемых относятся к одному связанному осциллятору, третье слагаемое — вклад проводимости среды в модели Друде, а последнее — сумма осцилляторов Лорентца; i — мнимая единица, ω — циклическая частота света, ε_∞ — диэлектрическая проницаемость при больших частотах, ε_s — диэлектрическая проницаемость при нулевой частоте (статическая), Γ₀ — затухание осциллятора, Γ_D — затухание в металле Друде, γ_j — затухание j-го осциллятора Лорентца, ω_t — частота межзонного перехода, ω_p — плазменная частота, f_j — сила j-го осциллятора Лоренца.

Аппроксимация Форухи (англ. Forouhi A. R.) и Блумер (англ. Bloomer I.):

$n(E)=\sqrt{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}+\frac{B_{0}E+C_0}{E^2-<!--\; -\; -->BE+C}k(E)=\frac{A(E-<!--\; -\; -->E_g{)}^2}{E^2-<!--\; -\; -->BE+C}$$n(E)={\sqrt {\varepsilon _{\infty }}}+{\frac {B_{0}E+C_{0}}{E^{2}-BE+C}}\,\qquad k(E)={\frac {A(E-E_{g})^{2}}{E^{2}-BE+C}}$

где

$B_0=\frac{A}{Q}\left(-<!--\; -\; -->\frac{B^2}{2}+E_{g}B-<!--\; -\; -->E_g^2+C\right),$$B_{0}={\frac {A}{Q}}\left(-{\frac {B^{2}}{2}}+E_{g}B-E_{g}^{2}+C\right)\,,$

$C_0=\frac{A}{Q}\left(\frac{B}{2}(E_g^2+C)-<!--\; -\; -->2E_{g}C\right),$$C_{0}={\frac {A}{Q}}\left({\frac {B}{2}}(E_{g}^{2}+C)-2E_{g}C\right)\,,$

$Q=\frac{\sqrt{4C-<!--\; -\; -->B^2}}{2},$$Q={\frac {\sqrt {4C-B^{2}}}{2}}\,,$

где E — энергия кванта света, ε_∞ — диэлектрическая проницаемость при больших частотах, E_g — ширина запрещённой зоны, которая как и коэффициенты A, B и C должны определяться из подгонки к экспериментальным данным. Используется для аморфных полупроводников в видимой и ближней УФ области спектра при энергии света меньше ширины запрещённой зоны.

Формула Зельмейера:

$n^2(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=A+B\frac{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0^2},$$n^{2}(\lambda )=A+B{\frac {\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-\lambda _{0}^{2}}}\,,$

где λ — длина волны света, λ₀ — резонансная длина волны, A и B — подгоночные коэффициенты. Используется для прозрачных сред без поглощения вдали от резонансов.

Формула Зельмейера с поглощением:

$n^2(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=\frac{1+A}{1+B/{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2},k^2(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=\frac{C}{nD\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}+E/\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}+I/{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^3},$$n^{2}(\lambda )={\frac {1+A}{1+B/\lambda ^{2}}}\,,\qquad k^{2}(\lambda )={\frac {C}{nD\lambda +E/\lambda +I/\lambda ^{3}}}\,,$

где λ — длина волны света, A, B, C, D, E и I — подгоночные коэффициенты. Используется для прозрачных сред с поглощением вдали от резонансов.

Уравнение Коши:

$n(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=A+\frac{B}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2}+\frac{C}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^4},$$n(\lambda )=A+{\frac {B}{\lambda ^{2}}}+{\frac {C}{\lambda ^{4}}}\,,$

где λ — длина волны света, A, B и C — подгоночные коэффициенты. Используется для прозрачных сред без поглощения вдали от резонансов.

Формула Гартмана:

$n(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=n_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}+\frac{C}{(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0{)}^a},$$n(\lambda )=n_{\infty }+{\frac {C}{(\lambda -\lambda _{0})^{a}}}\,,$

где λ — длина волны света, n_∞, λ₀, C и a — подгоночные коэффициенты. Используется для прозрачных сред без поглощения вдали от резонансов.

Уравнение Коши для среды со слабым поглощением:

$n(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=A+\frac{B}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2}+\frac{C}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^4},k(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=D+\frac{E}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2}+\frac{F}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^4}$$n(\lambda )=A+{\frac {B}{\lambda ^{2}}}+{\frac {C}{\lambda ^{4}}}\,,\qquad k(\lambda )=D+{\frac {E}{\lambda ^{2}}}+{\frac {F}{\lambda ^{4}}}$

где λ — длина волны света, A, B, C, D, E и F — подгоночные коэффициенты. Используется для прозрачных сред с поглощением вдали от резонансов.

Формула Конради:

$n^2(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=A+\frac{B}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2}+\frac{C}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{3,5}},$$n^{2}(\lambda )=A+{\frac {B}{\lambda ^{2}}}+{\frac {C}{\lambda ^{3,5}}}\,,$

где λ — длина волны света, A, B и C — подгоночные коэффициенты. Используется для прозрачных сред без поглощения вдали от резонансов.

Формула Скотта — Бриота:

$n^2(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=A+\frac{B}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2}+\frac{C}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^4}+\frac{D}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^6}+\frac{E}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^8},$$n^{2}(\lambda )=A+{\frac {B}{\lambda ^{2}}}+{\frac {C}{\lambda ^{4}}}+{\frac {D}{\lambda ^{6}}}+{\frac {E}{\lambda ^{8}}}\,,$

где λ — длина волны света, A, B и C, D и E — подгоночные коэффициенты. Используется для прозрачных сред без поглощения вдали от резонансов.

ЛитератураПравить

• Свиташёва, Светлана Николаевна. Развитие метода эллипсометрии для исследования наноразмерных пленок диэлектриков, полупроводников и металлов. — 2013.
• Стороженко, И. П.; Тиманюк, В. А; Животова, Е. Н. Методы рефрактометрии и поляриметрии.. — Харьков: Изд-во НФаУ, 2012. — 64 с.