Аналитический элемент

Аналитический элемент — понятие в комплексном анализе, применяемое для удобства определения аналитического продолжения; оно вводится как упорядоченная пара $(G,f)$$(G,f)$, где $G\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{C}$$G\subset \mathbb {C}$ — некоторая односвязная область, а $f$$f$ — аналитическая в этой области функция.

Аналитические элементы $(G_1,f_1)$$(G_{1},f_{1})$ и $(G_2,f_2)$$(G_{2},f_{2})$ называются аналитическим продолжением друг друга, если $G_1\cap <!--\; \cap \; -->G_2\ne <!--\; \ne \; -->\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$$G_{1}\cap G_{2}\neq \emptyset$ и на $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$ — одной из связных компонент множества $G_1\cap <!--\; \cap \; -->G_2$$G_{1}\cap G_{2}$ — выполняется тождественное равенство $f_1\equiv <!--\; \equiv \; -->f_2$$f_{1}\equiv f_{2}$. Приведенное в таком виде определение в случае односвязности $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$ полностью совпадает с понятием аналитического продолжения для функций. Однако в чистом виде аналитические элементы применяются достаточно редко, в основном используется их частный случай — канонический элемент.

Канонический элемент с центром в точке $z_0\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}$$z_{0}\in {\mathbb C}$ — аналитический элемент вида $(K,f)$$(K,f)$, где $f$$f$ — аналитическая в $z_0$$z_{0}$ функция, а $K$$K$ — круг сходимости ряда Тейлора функции $f$$f$ в этой точке.

ЛитератураПравить

• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.