Аналитический сигнал

Аналитический сигнал (аналитическое представление сигнала) — используемое в теории обработки сигналов математическое представление аналогового сигнала в виде комплекснозначной аналитической функции времени. Обычный, действительный сигнал x является при этом действительной частью аналитического представления x_a.

Идея преобразования — оставить лишь неотрицательные частоты в спектре сигнала, достаточные для его восстановления в силу эрмитовой симметрии: $X(-<!--\; -\; -->f)=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X(f)}$$X(-f) = \overline{X(f)}$.

Аналитический сигнал является обобщением понятия комплексной амплитуды на случай сигналов, отличных от гармонического.

ОпределениеПравить

Пусть x(t) — представляющая сигнал действительнозначная функция, преобразование Фурье (т.е. спектр) которой обозначим X(f),, а u(f) — функция Хевисайда.

Тогда:

$\begin{align} X_\mathrm{a}(f) & \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \begin{cases} \ \ 2 X(f), & \mbox{for } f > 0, \\ \ \ X(f), & \mbox{for } f = 0, \\ \ \ 0, & \mbox{for } f < 0, \end{cases} \\ &= X(f)\cdot 2 \mathrm{u}(f) \end{align}$ 

содержит лишь неотрицательную часть спектра X(f).

Подвергая полученный спектр $X_{\mathrm{a}}(f)$$X_{\mathrm {a} }(f)$  обратному преобразованию Фурье, мы и получаем аналитический сигнал:

$\begin{align} x_\mathrm{a}(t) &= \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{X(f)\}}_{x(t)} \ * \ \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{2 \mathrm{u}(f)\}}_{\delta(t) + j\cdot {1 \over \pi t}} \quad \quad \mbox{ } \\ &= x(t) + j\underbrace{\left[x(t) * {1 \over \pi t}\right]}_{\hat{x}(t)}, \end{align}$ 

где * — свёртка, $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{x}(t)$$\hat{x}(t)$  — преобразование Гильберта функции $x(t),$$x(t),$  а $j$$j$  означает мнимую единицу.

ПримерыПравить

Пусть  $x(t)=\cos <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{0}t)$$x(t)=\cos(\omega _{0}t)$  для некоторой частоты ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0>0$$\omega _{0}>0$ 

Тогда:

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{x}(t)=\cos <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{0}t-<!--\; -\; -->\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}\end{array})=\sin <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{0}t)$${\hat {x}}(t)=\cos(\omega _{0}t-{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}})=\sin(\omega _{0}t)$ 

$x_{\mathrm{a}}(t)=\cos <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{0}t)+j\cdot <!--\; \cdot \; -->\sin <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{0}t)=e^{j{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{0}t}$$x_{\mathrm {a} }(t)=\cos(\omega _{0}t)+j\cdot \sin(\omega _{0}t)=e^{j\omega _{0}t}$ 

Это комплексная функция с возрастающим по времени аргументом.

Практические примененияПравить

Устранение «отрицательных частот» используется в аналоговой передаче звука (АМ-радиовещание, аналоговая телефонная связь) для экономии полосы частот.

См. такжеПравить

• Комплексное сопротивление

Внешние ссылкиПравить

• Преобразование Гильберта. Аналитический сигнал.
• Преобразование Гильберта. Аналитический сигнал.