Альтернирующий метод Шварца

В математике альтернирующий метод Шварца или альтернирующий процесс — это итеративный метод, предложенный в 1869—1870 годах Германом Шварцем в теории конформных отображений. Для двух пересекающихся областей на комплексной плоскости, для каждой из которых решаема задача Дирихле, Шварц описал итеративный метод для решения задачи Дирихле в их объединении при условии надлежащего пересечения. Это была одна из конструктивных техник конформного отображения, разработанных Шварцем как вклад в задачу униформизации, сформулированную Риманом в 1850-х и впервые строго решённую Кёбе и Пуанкаре в 1907. Он представил схему того, как униформизировать объединение двух областей, если известно, как униформизировать каждую из них по отдельности, при условии, что их пересечение топологически было диском или кольцом. С 1870-го Карл Нейман также внёс вклад в эту теорию.

В 1950-х годах метод Шварца был обобщён в теории уравнений в частных производных до итерационного метода поиска решения краевой задачи эллиптического типа в области, являющейся объединением двух пересекающихся областей. Он включает решение краевой задачи на каждой из двух подобластей по очереди, всегда принимая последние значения приближённого решения в качестве следующих граничных условий. Это используется в численном анализе под названием мультипликативный метод Шварца (в противовес аддитивному методу Шварца) как метод декомпозиции областей.

ИсторияПравить

Оригинальный логотип методов декомпозиции областей: представление проблемы, рассмотренной Шварцем в 1870. Синий прямоугольник в оригинале был квадратом.

Впервые метод был сформулирован Шварцем^[1] и служил теоретическим инструментом: его сходимость для эллиптических уравнений в частных производных второго порядка была впервые доказана Соломоном Григорьевичем Михлиным намного позже, в 1951^[2].

АлгоритмПравить

Оригинальной задачей, рассмотренной Шварцем, была задача Дирихле (с уравнением Лапласа) на области, содержащей круг и частично наложенный квадрат. Чтобы решить задачу Дирихле на одной из двух подобластей (квадрате или круге), решение должно быть известно на границе: поскольку часть границы содержится в другой подобласти, задача Дирихле должна решаться на двух подобластях в совокупности. Введём итеративный алгоритм:

Сделаем первое предположение о решении на той части границы круга, которая находится внутри квадрата;
Решаем задачу Дирихле на круге;
Используем решение из (2), чтобы аппроксимировать решение на границе квадрата;
Решаем задачу Дирихле на квадрате;
Используем решение из (4), чтобы аппроксимировать решение на границе круга, потом переходим к шагу (2).

При сходимости решение на пересечении будет таким же, как на круге или квадрате.

Оптимизированные методы ШварцаПравить

Скорость сходимости зависит от размера пересечения подобластей и от условий трансмиссии (граничные условия, использованные на переходе между подобластями). Возможно увеличить скорость сходимости методов Шварца через подбор условий трансмиссии: такие методы называются оптимизированными методами Шварца^[3].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

↑ (Schwarz 1870b)
↑ (Михлин 1951): полный обзор был дан тем же автором в более поздних работах.
↑ Gander, Martin J.; Halpern, Laurence & Nataf, Frédéric (2001), Optimized Schwarz Methods, 12th International Conference on Domain Decomposition Methods (PDF)

СсылкиПравить

Оригинальные статьи

Schwarz, H.A. (1869), Über einige Abbildungsaufgaben, J. Reine Angew. Math. Т. 1869 (70): 105–120, DOI 10.1515/crll.1869.70.105
Schwarz, H.A. (1870a), Über die Integration der partiellen Differentialgleichung $\text{[math]}$ ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0 unter vorgeschriebenen Grenz- und Unstetigkeitbedingungen, Monatsberichte der Königlichen Akademie der Wissenschaft zu Berlin: 767–795
Schwarz, H. A. (1870b), Über einen Grenzübergang durch alternierendes Verfahren, Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich Т. 15: 272–286, <https://www.biodiversitylibrary.org/item/34472#page/280/mode/1up>
Neumann, Carl (1870), Zur Theorie des Potentiales, Math. Ann. Т. 2 (3): 514, doi:10.1007/bf01448242, <https://zenodo.org/record/1428252>
Neumann, Carl (1877), Untersuchungen über das logarithmische und Newton'sche Potential, Teubner
Neumann, Carl (1884), Vorlesungen über Riemann's Theorie der abelschen Integrale (2nd ed.), Teubner

Конформные отображения и гармонические функции

Nevanlinna, Rolf (1939), Über das alternierende Verfahren von Schwarz, J. Reine Angew. Math. Т. 1939 (180): 121–128, DOI 10.1515/crll.1939.180.121
Nevanlinna, Rolf (1939), Bemerkungen zum alternierenden Verfahren, Monatshefte für Mathematik und Physik Т. 48: 500–508, DOI 10.1007/bf01696203
Nevanlinna, Rolf (1953), Uniformisierung, vol. 64, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, Springer
Sario, Leo (1953), Alternating method on arbitrary Riemann surfaces, Pacific J. Math. Т. 3 (3): 631–645, DOI 10.2140/pjm.1953.3.631
Morgenstern, Dietrich (1956), Begründung des alternierenden Verfahrens durch Orthogonalprojektion, Z. Angew. Math. Mech. Т. 36 (7–8): 255–256, DOI 10.1002/zamm.19560360711
Cohn, Harvey (1980), Conformal mapping on Riemann surfaces, Dover, с. 242–262, ISBN 0-486-64025-6 , Chapter 12, Alternating Procedures
Garnett, John B. & Marshall, Donald E. (2005), Harmonic Measure, Cambridge University Press, ISBN 1139443097
Freitag, Eberhard (2011), Complex analysis. 2. Riemann surfaces, several complex variables, abelian functions, higher modular functions, Springer, ISBN 978-3-642-20553-8
de Saint-Gervais, Henri Paul (2016), Uniformization of Riemann Surfaces: revisiting a hundred-year-old theorem, Heritage of European Mathematics, European Mathematical Society, ISBN 978-3-03719-145-3, doi:10.4171/145, <http://www.ems-ph.org/books/book.php?proj_nr=198> , перевод французского текста
Chorlay, Renaud (2007), L'émergence du couple local-global dans les théories géométriques, de Bernhard Riemann à la théorie des faisceaux, с. 123–134, <http://www.sphere.univ-paris-diderot.fr/IMG/pdf/These_Chorlay_Partie_1.pdf> (cited in de Saint-Gervais)
Bottazzini, Umberto & Gray, Jeremy (2013), Hidden Harmony—Geometric Fantasies: The Rise of Complex Function Theory, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer, ISBN 978-1461457251

Уравнения в частных производных и численные методы

Михлин, С. Г. (1951), Об алгоритме Шварца, Доклады Академии наук Т. 77: 569–571

СсылкиПравить

Solomentsev, E.D. (2001), Schwarz alternating method, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

[Schwarz-1870-UGA-1] (Schwarz 1870b)

[2] (Михлин 1951): полный обзор был дан тем же автором в более поздних работах.

[3] Gander, Martin J.; Halpern, Laurence & Nataf, Frédéric (2001), Optimized Schwarz Methods, 12th International Conference on Domain Decomposition Methods (PDF)

[1]

[2]

[3]