Алгебра вершинных операторов

Алгебры вершинных операторов впервые были введены Ричардом Борчердсом в 1986 году. Имеет важное значение для теории струн, конформной теории поля и для смежных областей физики. Аксиомы алгебры вершинных операторов — это формальная алгебраическая интерпретация того, что физики называют хиральной алгеброй.

Ричард Борчердс

Алгебры вершинных операторов оказались полезными в чисто математических направлениях, таких как геометрическое соответствие Ленглендса (англ.) и доказательство гипотезы чудовищного вздора.

ПримерыПравить

• Решётка Z в R даёт супералгебру вершинных операторов, соответствующую одному комплексному фермиону. Это ещё один способ формулировки бозонно-фермионного соответствия. Фермионное поле ψ(z) и его сопряжённое поле ψ^†(z) определяются выражением:

$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(z)=\sum <!--\; \sum \; -->e_n{z}^{-<!--\; -\; -->n-<!--\; -\; -->1},{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{†<!--\; †\; -->}(z)=\sum <!--\; \sum \; -->e_n^{\ast <!--\; \ast \; -->}{z}^n,\{e_n,e_m\}=0,\{e_m,e_n^{\ast <!--\; \ast \; -->}\}={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{m,n}I.$$\psi (z)=\sum e_{n}z^{-n-1},\ \ \psi ^{\dagger }(z)=\sum e_{n}^{*}z^{n},\ \ \{e_{n},e_{m}\}=0,\ \ \{e_{m},e_{n}^{*}\}=\delta _{m,n}I.$ 

Соответствие между фермионами и одним заряженным бозонным полем

$\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(z)=\sum <!--\; \sum \; -->a_n{z}^{-<!--\; -\; -->n-<!--\; -\; -->1},[a_m,a_n]=m{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{n+m,0}I,U{a}_n{U}^{-<!--\; -\; -->1}=a_n-<!--\; -\; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{n,0}I$$\phi (z)=\sum a_{n}z^{-n-1},\ \ [a_{m},a_{n}]=m\delta _{n+m,0}I,\ \ Ua_{n}U^{-1}=a_{n}-\delta _{n,0}I$ 

принимает вид

$\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(z)=:<!--\; :\; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{†<!--\; †\; -->}(z)\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(z):<!--\; :\; -->$$\phi (z)=\;\colon \psi ^{\dagger }(z)\psi (z)\colon$ 

$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(z)=U:<!--\; :\; -->\exp <!--\; \; -->\int <!--\; \int \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(z):<!--\; :\; -->$$\psi (z)=U\;\colon \exp \int \phi (z)\colon$ 

где нормальные экспоненты интерпретируется как вершинные операторы.

• Решётка √2 Z в R даёт алгебру вершинных операторов, соответствующую аффинной алгебре Каца — Муди (англ.) для SU(2) на первом уровне. Она реализуется полями

$H(z)=\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(z)\otimes <!--\; \otimes \; -->I-<!--\; -\; -->I\otimes <!--\; \otimes \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(z)$$H(z)=\phi(z)\otimes I - I\otimes \phi(z)$ 

$E(z)=\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(z)\otimes <!--\; \otimes \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{†<!--\; †\; -->}(z)$$E(z)=\psi(z)\otimes \psi^\dagger(z)$ 

$F(z)={\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{†<!--\; †\; -->}(z)\otimes <!--\; \otimes \; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(z)$$F(z)=\psi^\dagger(z)\otimes \psi(z)$ 

ЛитератураПравить

• Леповски Д., Ли Х. Введение в вершинные операторные алгебры и их представления. — Ижевск: РХД 2008. — 424 с. — ISBN 978-5-93972-664-1
• Кац В. Г. Вертексные алгебры для начинающих / Пер. с англ. — М.: МЦНМО, 2005. — 200 с. — ISBN 5-94057-124-7.
• Шехтман В. В. Вертексные алгебры, связанные с алгебраическими многообразиями. — С. 91-104 Архивная копия от 8 февраля 2013 на Wayback Machine.