Абсолютно твёрдое тело

Внешние видеофайлы
Внешние видеофайлы
	Чирцов А. С. «Абсолютно твёрдое тело» // Курс лекций о небесной механике, 2018

Абсолю́тно твёрдое те́ло — второй опорный объект механики наряду с материальной точкой. Механика абсолютно твёрдого тела полностью сводима к механике материальных точек (с наложенными связями), но имеет собственное содержание (полезные понятия и соотношения, которые могут быть сформулированы в рамках модели абсолютно твёрдого тела), представляющее большой теоретический и практический интерес.

Основные определенияПравить

Существует несколько определений абсолютно твёрдого тела:

Абсолютно твёрдое тело — модельное понятие классической механики, обозначающее совокупность точек, расстояния между текущими положениями которых не изменяются, каким бы воздействиям данное тело в процессе взаимодействия с другими твёрдыми объектами ни подвергалось^[1] (поэтому абсолютно твёрдое тело не изменяет свою форму и сохраняет неизменным распределение масс).
Абсолютно твёрдое тело — механическая система, обладающая только поступательными и вращательными степенями свободы. «Твёрдость» означает, что тело не может быть деформировано, то есть телу нельзя передать никакой другой энергии, кроме кинетической энергии поступательного или вращательного движения.
Абсолютно твёрдое тело — тело (система), для точек которого выполнено $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\vec {r_{b}}},{\vec {r_{c}}}=const$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\vec {r_{b}}}[{\vec {r_{c}}},{\vec {r_{d}}}]=const$ . Данное понятие представляет математическую модель твёрдого тела.

Таким образом, текущая конфигурация абсолютно твёрдого тела полностью определяется, например, положением жёстко связанной с ним декартовой системы координат (часто её начало координат делают совпадающим с центром масс тела).

В трёхмерном пространстве свободное абсолютно твёрдое тело (т. е. твёрдое тело, на которое не наложены внешние связи) в общем случае имеет 6 степеней свободы: три поступательных и три вращательных^[2]. Исключение составляет двухатомная молекула или — на языке классической механики — твёрдый стержень нулевой толщины; такая система имеет только две вращательных степени свободы.

Строго говоря, абсолютно твёрдых тел в природе не существует, однако в очень многих случаях, когда деформация тела мала и ею можно пренебречь, реальное тело может (приближённо) рассматриваться как абсолютно твёрдое тело без ущерба для решения задачи.

В рамках релятивистской механики понятие абсолютно твёрдого тела внутренне противоречиво, что показывает, в частности, парадокс Эренфеста. Другими словами, модель абсолютно твёрдого тела не применима к случаю быстрых движений (сопоставимых по скорости со скоростью света), а также к случаю очень сильных гравитационных полей^[3].

Кинематика абсолютно твёрдого телаПравить

Распределение скоростей точек движущегося абсолютно твёрдого тела описывается формулой Эйлера^[4]. При решении задач о распределении скоростей бывает весьма полезна также теорема Грасгофа о проекциях скоростей, обычно формулируемая так: «Проекции скоростей двух произвольных точек твёрдого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой»^[5].

Динамика абсолютно твёрдого телаПравить

Динамика абсолютно твёрдого тела полностью определяется его полной массой, положением центра масс и тензором инерции (в то время как динамика материальной точки полностью определяется заданием её массы); конечно, имеется в виду, что заданы все внешние силы и внешние связи (а они, в свою очередь, могут зависеть от формы тела или его частей, и т. д.). Детали распределения масс абсолютно твёрдого тела никак не сказываются на его движении^[6]; если как-то так перераспределить массы внутри абсолютно твёрдого тела, что не изменятся положение центра масс и тензор инерции тела, то не изменится и движение твёрдого тела при заданных внешних силах (хотя при этом, вообще говоря, изменятся внутренние напряжения в самом твёрдом теле).

Частные определенияПравить

Абсолютно твёрдое тело на плоскости называется плоским ротатором. Он имеет 3 степени свободы: две поступательные и одну вращательную.

Абсолютно твёрдое тело, помещённое в поле тяжести и способное вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, называется физическим маятником^[7].

Абсолютно твёрдое тело с одной закреплённой точкой, но способное вращаться, называется волчком.

ПримечанияПравить

↑ Маркеев, 1990, с. 38.
↑ Маркеев, 1990, с. 39.
↑ В некоторых частных случаях (например, при быстром движении относительно наблюдателя тела, которое само вращается медленно) модель абсолютно твёрдого тела может принести пользу: задача сначала решается в ньютоновском приближении в системе отсчёта, связанной, например, с центром масс тела, где все движения медленные, а потом с помощью преобразований Лоренца делается пересчёт готового решения в систему отсчёта наблюдателя. Однако всегда нужна особая осторожность при таком применении, так как, вообще говоря, при использовании модели абсолютно твёрдого тела в данной ситуации повышен риск получить или явный парадокс, или просто неверный ответ.
↑ Маркеев, 1990, с. 47—48.
↑ Павловский, Акинфиева, Бойчук, 1989, с. 165.
↑ Случаи, когда (внешние) силы зависят от масс — например, случай (неоднородной) гравитации — в принципе нарушают простое утверждение о независимости динамики абсолютно твёрдого тела от деталей распределения его массы (такое нарушение в нашей формулировке устраняется оговоркой о заданности внешних сил). В практических же расчётах всегда можно рассмотреть распределение массы, от которого зависят силы, (например — распределение гравитационной массы в случае тяготения) чисто формально независимым от распределения инертной массы — хотя на самом деле они совпадают; тогда утверждение о независимости динамики от деталей распределения массы формально же касается только второго из них, а не первого.
↑ Маркеев, 1990, с. 149.

ЛитератураПравить

Суслов Г. К. Теоретическая механика. — М.: Гостехиздат, 1946.
Аппель П. Теоретическая механика. Тт. 1,2. — М.: Физматгиз, 1960.
Четаев Н. Г. Теоретическая механика. — М.: Наука, 1987.
Павловский М. А., Акинфиева Л. Ю., Бойчук О. Ф. Теоретическая механика. Статика. Кинематика. — Киев: Вища школа, 1989. — 351 с. — ISBN 5-11-001177-X.
Маркеев А. П. Теоретическая механика. — М.: Наука, 1990. — 416 с. — ISBN 5-02-014016-3.
Голубев Ю. Ф. Основы теоретической механики. 2-е изд. — М.: Изд-во МГУ, 2000. — 720 с. — ISBN 5-211-04244-1.
Журавлёв В. Ф. Основы теоретической механики: Учебник. 3-е изд. — М.: Физматлит, 2008. — 304 с. — ISBN 978-5-9221-0907-9.
Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики: Учебник для вузов. 18-е изд. — М.: Высшая школа, 2010. — 416 с. — ISBN 978-5-06-006193-2.

СсылкаПравить

[_09f084511a938ea0-1] Маркеев, 1990, с. 38.

[_09f084511a938ea1-2] Маркеев, 1990, с. 39.

[3] В некоторых частных случаях (например, при быстром движении относительно наблюдателя тела, которое само вращается медленно) модель абсолютно твёрдого тела может принести пользу: задача сначала решается в ньютоновском приближении в системе отсчёта, связанной, например, с центром масс тела, где все движения медленные, а потом с помощью преобразований Лоренца делается пересчёт готового решения в систему отсчёта наблюдателя. Однако всегда нужна особая осторожность при таком применении, так как, вообще говоря, при использовании модели абсолютно твёрдого тела в данной ситуации повышен риск получить или явный парадокс, или просто неверный ответ.

[_b6402a369871ff1c-4] Маркеев, 1990, с. 47—48.

[_87e63bcac52ecc8c-5] Павловский, Акинфиева, Бойчук, 1989, с. 165.

[6] Случаи, когда (внешние) силы зависят от масс — например, случай (неоднородной) гравитации — в принципе нарушают простое утверждение о независимости динамики абсолютно твёрдого тела от деталей распределения его массы (такое нарушение в нашей формулировке устраняется оговоркой о заданности внешних сил). В практических же расчётах всегда можно рассмотреть распределение массы, от которого зависят силы, (например — распределение гравитационной массы в случае тяготения) чисто формально независимым от распределения инертной массы — хотя на самом деле они совпадают; тогда утверждение о независимости динамики от деталей распределения массы формально же касается только второго из них, а не первого.

[_774605d028c0ba07-7] Маркеев, 1990, с. 149.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]