Физический маятник

Физи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

Дифференциальное уравнение движения физического маятникаПравить

 

Физический маятник.
$O$$O$  — ось подвеса;
$N$$N$  — реакция оси подвеса;
$G$$G$  — центр тяжести;
$O^{\prime }$$O'$  — центр качания;
$\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  — приведённая длина;
$\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$  — угол отклонения маятника от равновесия;
$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  — начальный угол отклонения маятника;
$m$$m$  — масса маятника;
$h$$h$  — расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника;
$g$$g$  — ускорение свободного падения.

Момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса, по теореме Штейнера:

$I=I_0+m{h}^2=m\left(r^2+h^2\right)$$I=I_{0}+mh^{2}=m\left(r^{2}+h^{2}\right)$ ,

где $I_0$$I_0$  — момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести; $r$$r$  — эффективный радиус инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Динамическое уравнение произвольного вращения твёрдого тела:

$I\frac{d^2\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{d{t}^2}=-<!--\; -\; -->M_s$$I{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-M_{s}$ ,

где $M_s$$M_s$  — суммарный момент сил, действующих на тело относительно оси вращения.

$M_s=M+M_f$$M_{s}=M+M_{f}$ ,

где $M$$M$  — момент сил, вызванный силой тяжести; $M_f$$M_{f}$  — момент сил, вызванный силами трения среды.

Момент, вызванный силой тяжести, зависит от угла отклонения тела от положения равновесия:

$M=mgh\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$M=mgh\sin \theta$ .

Если пренебречь сопротивлением среды, дифференциальное уравнение колебаний физического маятника в поле силы тяжести:

$I\frac{d^2\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{d{t}^2}=-<!--\; -\; -->mgh\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$I{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mgh\sin \theta$ .

Если разделить обе части уравнения на $h$$h$  и положить

$\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=\frac{r^2+h^2}{h}=\frac{r^2}{h}+h$$\lambda ={\frac {r^{2}+h^{2}}{h}}={\frac {r^{2}}{h}}+h$ ,

получим:

$\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\frac{d^2\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{d{t}^2}=-<!--\; -\; -->g\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\lambda {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-g\sin \theta$ .

Такое уравнение аналогично уравнению колебаний математического маятника длиной $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ . Величина $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  называется приведённой длиной физического маятника.

Центр качания физического маятника. Теорема ГюйгенсаПравить

Центр качания — точка, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы его период колебаний не изменился.

Поместим на луче, проходящем от точки подвеса через центр тяжести, точку на расстоянии $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  от точки подвеса. Эта точка и будет центром качания маятника.

Действительно, если всю массу сосредоточить в центре качания, то центр качания будет совпадать с центром тяжести. Тогда момент инерции относительно оси подвеса будет равен $I=m{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2$$I=m\lambda ^{2}$ , а момент силы тяжести относительно той же оси $-<!--\; -\; -->mg\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$-mg\lambda \sin \theta$ . При этом уравнение движения не изменится.

Согласно теореме Гюйгенса,

Если физический маятник подвесить за центр качания, то его период колебаний не изменится, а прежняя точка подвеса сделается новым центром качания.

Вычислим приведённую длину для нового маятника:

${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1=\frac{r^2}{r^2/h}+\frac{r^2}{h}=h+\frac{r^2}{h}=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda _{1}={\frac {r^{2}}{r^{2}/h}}+{\frac {r^{2}}{h}}=h+{\frac {r^{2}}{h}}=\lambda$ .

Совпадение приведённых длин для двух случаев и доказывает утверждение, сделанное в теореме.

Период колебаний физического маятникаПравить

Наиболее общий случайПравить

Для того, чтобы найти период колебаний физического маятника, необходимо решить уравнение качания.

Для этого умножим левую $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\frac{d^2\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{d{t}^2}=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\frac{d}{dt}\left(\frac{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{dt}\right)$$\lambda {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=\lambda {\frac {d}{dt}}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)$  и правую часть этого уравнения на $d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$d\theta$ . Тогда:

$\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\frac{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{dt}d\left(\frac{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{dt}\right)=-<!--\; -\; -->g\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\lambda {\frac {d\theta }{dt}}d\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)=-g\sin \theta \,d\theta$ .

Интегрируя это уравнение, получаем:

$\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{\left(\frac{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{dt}\right)}^2=2g\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+C$$\lambda \left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}=2g\cos \theta +C$ ,

где $C$$C$  — произвольная постоянная. Её можно найти из условия, что в ситуациях, когда $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\theta =\pm \alpha$ , должно быть $\frac{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{dt}=0$${\frac {d\theta }{dt}}=0$  ($\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  — максимальный угол отклонения). Получаем:

$C=-<!--\; -\; -->2g\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}.$$C=-2g\cos \alpha .$ 

Подставляем и преобразовываем получившееся уравнение:

$\frac{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{dt}=2\sqrt{\frac{g}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}\sqrt{{\sin }^2<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}-<!--\; -\; -->{\sin }^2<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}}.$${\frac {d\theta }{dt}}=2{\sqrt {\frac {g}{\lambda }}}{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}.$ 

Отделяем переменные и интегрируем это уравнение:

$\sqrt{\frac{g}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}t=\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{d\left(\frac{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}\right)}{\sqrt{{\sin }^2<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}-<!--\; -\; -->{\sin }^2<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}}}$${\sqrt {\frac {g}{\lambda }}}t=\int \limits _{0}^{\frac {\theta }{2}}{\frac {d\left({\frac {\theta }{2}}\right)}{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}$ .

Удобно сделать замену переменной полагая $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}=\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\sin {\frac {\theta }{2}}=\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin \varphi$ . Тогда искомое уравнение принимает вид:

$t=\sqrt{\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{g}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->{\sin }^2<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}}=\sqrt{\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{g}}F\left(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\setminus <!--\; \setminus \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}/2\right).$$t={\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\sin ^{2}\varphi }}}={\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}F\left(\varphi \setminus \alpha /2\right).$ 

Здесь $F\left(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\setminus <!--\; \setminus \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\right)$$F\left(\varphi \setminus \alpha \right)$  — нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Для периода колебаний получаем формулу:

$T=4\sqrt{\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{g}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->{\sin }^2<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}}=4\sqrt{\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{g}}K\left(\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}\right).$$T=4{\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\,\int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\sin ^{2}\varphi }}}=4{\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\,K\left(\sin {\frac {\alpha }{2}}\right).$ 

Здесь $K\left(\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}\right)$$K\left(\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)$  — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Раскладывая его в ряд, можно получить удобную для практических вычислений формулу:

$T=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\sqrt{\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{g}}\left\{1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2{\sin }^2<!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}\right)+{\left(\frac{1\cdot <!--\; \cdot \; -->3}{2\cdot <!--\; \cdot \; -->4}\right)}^2{\sin }^4<!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}\right)+\cdots <!--\; \cdots \; -->+{\left[\frac{\left(2n-<!--\; -\; -->1\right)!!}{\left(2n\right)!!}\right]}^2{\sin }^{2n}<!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}\right)+\dots <!--\; \dots \; -->\right\}.$$T=2\pi {\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\left\{1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\dots +\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\dots \right\}.$ 

Период малых колебаний физического маятникаПравить

Если $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\ll <!--\; \ll \; -->1$$\alpha \ll 1$  — случай малых максимальных угловых отклонений от равновесия $|\theta |<\alpha$  — то $\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\sin \theta \approx \theta$  так как разложение синуса в ряд Маклорена $\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^3/3\dots <!--\; \dots \; -->$$\sin \theta \approx \theta -\theta ^{3}/3\dots$  и уравнения движения переходит в уравнение гармонического осциллятора без трения:

$\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\frac{d^2\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{d{t}^2}=-<!--\; -\; -->g\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}.$$\lambda {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-g\theta .$ 

Период колебания маятника в этом случае:

$T=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\sqrt{\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{g}}.$$T=2\pi {\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}.$ 

В иной формулировке: если амплитуда колебаний $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  мала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближённо равен единице. Такой интеграл легко берётся, и получается хорошо известная формула малых колебаний:

$T=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\sqrt{\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{g}}=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\sqrt{\frac{I}{mgh}}.$$T=2\pi {\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgh}}}.$ 

Эта формула даёт результаты приемлемой точности (ошибка менее 1 %) при углах, не превышающих 4°.

Следующий порядок приближения можно использовать с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) при углах отклонения до 1 радиана (≈57°):

$T\approx <!--\; \approx \; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\sqrt{\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{g}}\left(1+\frac{1}{4}{\sin }^2<!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}\right)\right)=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4}\sqrt{\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{g}}\left(9-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\right).$$T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\left(1+{\frac {1}{4}}\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)\right)={\frac {\pi }{4}}{\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\left(9-\cos {\alpha }\right).$ 

См. такжеПравить

• Математический маятник

СсылкиПравить

• маятник — статья из Большой советской энциклопедии.