Признак д’Аламбера

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

$\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n$$\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}$

существует такое число $q$$q$, $0<q<1$, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство

$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|⩽<!--\; ⩽\; -->q,$$\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|\leqslant q,$

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|⩾<!--\; ⩾\; -->1$$\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geqslant 1$,

то ряд расходится.

Если же, начиная с некоторого номера, $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1$, при этом не существует такого $q$$q$, $0<q<1$, что $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|⩽<!--\; ⩽\; -->q$$\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ для всех $n$$n$, начиная с некоторого номера, то в этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться.

Признак сходимости д’Аламбера в предельной формеПравить

Если существует предел

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|,$$\rho =\lim _{{n\to \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|,$ 

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если $\rho <1$ , а если $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}>1$$\rho >1$  — расходится.

Замечание 1. Если $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=1$$\rho =1$ , то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Замечание 2. Если $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=1$$\rho =1$ , и последовательность $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$$\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$  стремится к своему пределу $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  сверху, то про ряд все-таки можно сказать, что он расходится.

ДоказательствоПравить

1. Пусть, начиная с некоторого номера $N$$N$ , верно неравенство $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|⩽<!--\; ⩽\; -->q$$\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ , где $0<q<1$ . Тогда можно записать $\left|\frac{a_{N+1}}{a_N}\right|\le <!--\; \le \; -->q$$\left|{\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\right|\leq q$ , $\left|\frac{a_{N+2}}{a_{N+1}}\right|\le <!--\; \le \; -->q$$\left|{\frac {a_{N+2}}{a_{N+1}}}\right|\leq q$ , …, $\left|\frac{a_{N+n}}{a_{N+n-<!--\; -\; -->1}}\right|\le <!--\; \le \; -->q$$\left|{\frac {a_{N+n}}{a_{N+n-1}}}\right|\leq q$  , и так далее. Перемножив первые n неравенств, получим $\left|\frac{a_{N+1}}{a_N}\right|\times <!--\; \times \; -->\left|\frac{a_{N+2}}{a_{N+1}}\right|\times <!--\; \times \; -->...\times <!--\; \times \; -->\left|\frac{a_{N+n}}{a_{N+n-<!--\; -\; -->1}}\right|=\left|\frac{a_{N+n}}{a_N}\right|\le <!--\; \le \; -->q^n$$\left|{\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\right|\times \left|{\frac {a_{N+2}}{a_{N+1}}}\right|\times ...\times \left|{\frac {a_{N+n}}{a_{N+n-1}}}\right|=\left|{\frac {a_{N+n}}{a_{N}}}\right|\leq {q^{n}}$ , откуда $\left|a_{N+n}\right|\le <!--\; \le \; -->|a_N|q^n$$\left|{a_{N+n}}\right|\leq |{a_{N}}|{q^{n}}$ . Это означает, что ряд $\left|a_{N+1}\right|+\left|a_{N+2}\right|+\left|a_{N+3}\right|+...$$\left|{a_{N+1}}\right|+\left|{a_{N+2}}\right|+\left|{a_{N+3}}\right|+...$  меньше бесконечной суммы убывающей геометрической прогрессии, и поэтому по признаку сравнения он сходится. Полный ряд из модулей тоже сходится, поскольку первые $N-<!--\; -\; -->1$$N-1$  членов (последовательности $\{a\}$$\{a\}$ ) роли не играют (их конечное число). Поскольку сходится ряд из модулей, то сходится и сам ряд по признаку абсолютной сходимости. Сходится он при этом абсолютно.
2. Пусть $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\ge <!--\; \ge \; -->1$$\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1$  (начиная с некоторого N): тогда можно записать $\left|a_{n+1}\right|\ge <!--\; \ge \; -->\left|a_n\right|$$\left|{a_{n+1}}\right|\geq \left|{a_{n}}\right|$ . Это означает, что модуль членов последовательности $\{a\}$$\{a\}$  не стремится к нулю на бесконечности, а значит, и сама последовательность $\{a\}$$\{a\}$  не стремится к нулю. Тогда необходимое условие сходимости любого ряда не выполняется, и ряд поэтому расходится.
3. Пусть $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1$ , начиная с некоторого $n=N$$n=N$ . При этом не существует такого $q$$q$ , $0<q<1$ , что $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|⩽<!--\; ⩽\; -->q$$\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$  для всех $n$$n$ , начиная с некоторого номера $N$$N$ . В этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться. Например, оба ряда $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{n}$$\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$  и $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{n^2}$$\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$  удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится. Действительно, для ряда $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{n}$$\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$  верно $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|={\frac {n}{n+1}}=1-{\frac {1}{n+1}}<1$  для любого натурального $n$$n$ . В то же время, поскольку $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1$ , это означает, что для любого $q$$q$ , $0<q<1$  можно подобрать такое число $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ , что $1-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>q$$1-\varepsilon >q$  , и при этом, начиная с некоторого номера, все члены последовательности $\{b\}$$\{b\}$ , где $b_n=\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$${b_{n}}=\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$ , будут находиться на интервале $(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->};1)$$(1-\varepsilon ;1)$ , то есть $b_n>q$${b_{n}}>q$ . А это и означает, что не существует такого $q$$q$ , $0<q<1$ , что $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|⩽<!--\; ⩽\; -->q$$\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$  для всех $n>N$$n>N$ . Эти рассуждения можно повторить и для второго ряда.

ПримерыПравить

• Ряд $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{z^n}{n!}$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$  абсолютно сходится для всех комплексных $z$$z$ , так как $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\left|\frac{z^{n+1}/(n+1)!}{z^n/n!}\right|=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{|z|}{n+1}=0.$$\lim _{{n\to \infty }}\left|{\frac {{z^{{n+1}}}/{(n+1)!}}{{z^{n}}/{n!}}}\right|=\lim _{{n\to \infty }}{\frac {|z|}{n+1}}=0.$ 

• Ряд $\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}n!z^n$$\sum _{{n=0}}^{\infty }n!\;z^{n}$  расходится при всех $z\ne <!--\; \ne \; -->0$$z\neq 0$ , так как $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\left|\frac{(n+1)!z^{n+1}}{n!z^n}\right|=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}|(n+1)z|=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}.$$\lim _{{n\to \infty }}\left|{\frac {(n+1)!\;z^{{n+1}}}{n!\;z^{n}}}\right|=\lim _{{n\to \infty }}|(n+1)z|=\infty .$ 

• Если $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=1$$\rho =1$ , то ряд может как сходиться, так и расходиться: оба ряда $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{n}$$\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$  и $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{n^2}$$\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$  удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится. Другой пример, для которого нужен признак Раабе: $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(1-<!--\; -\; -->\frac{\ln <!--\; \; -->n}{n}\right)}^{2n}$$\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)^{2n}$ 

СсылкиПравить

• d'Alembert, J. (1768), Opuscules, vol. V, с. 171–183, <http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62424s.image.f192> .
• Apostol, Tom M. (1974), Mathematical analysis (2nd ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-00288-1 
• Knopp, Konrad (1956), Infinite Sequences and Series, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-60153-3 : § 3.3, 5.4.
• Rudin, Walter (1976), Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.), New York: McGraw-Hill, Inc., ISBN 978-0-07-054235-8 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Bertrand criterion, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Gauss criterion, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Kummer criterion, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Watson, G. N. & Whittaker, E. T. (1963), A Course in Modern Analysis (4th ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2