Z-функция

Z-фу́нкция от строки $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $S$ $S$ — массив $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $Z_{1},\dots ,Z_{n}$ $Z_{1},\dots ,Z_{n}$ , такой что $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $Z_{i}$ $Z_{i}$ равен длине наибольшего общего префикса начинающегося с позиции $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $i$ $i$ суффикса строки $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $S$ $S$ и самой строки $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $S$ $S$ . Алгоритм построения был изложен Дэном Гасфилдом^[en] в его книге «Строки, деревья и последовательности в алгоритмах. Информатика и вычислительная биология» в 1997 году^[1] на основе публикации Мейна и Лоренца 1984 года^[2] о поиске всех тандемных повторов в строке.

Z-функция используется в различных алгоритмах обработки строк. В частности, с её помощью можно быстро решать задачу о поиске вхождения одной строки в другую (поиск по образцу).

Алгоритм вычисленияПравить

Символы строк нумеруются с 0.

Будем хранить индексы L и R, обозначающие начало и конец префикса с наибольшим найденным на данный момент значением R. Изначально $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L=R=0$ .

Пусть нам известны значения Z-функции для позиций 1…i − 1. Попробуем вычислить значение Z-функции для позиции i. Если $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $i\in [L..R]$ , рассмотрим значение Z-функции для позиции $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $j=i-L$ . Если $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $i+Z[j]\leqslant R$ , то $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $Z[i]=Z[j]$ , так как мы находимся в подстроке, совпадающей с префиксом всей строки. Если же $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $i+Z[j]>R$ , то необходимо досчитать значение Z[i] простым циклом, перебирающим символы после R, пока не найдется символ, не совпадающий с соответствующим символом из префикса. После этого изменяем, значение L на i и значение R на номер последнего символа, совпавшего с соответствующим символом из префикса.

Если $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $i\notin [L..R]$ , то считаем значение Z[i] простым циклом, сравнивающим символы подстроки начинающейся с i-го символа и соответствующие символы из префикса. Когда будет найдено несоответствие или будет достигнут конец строки, изменяем значение L на i и значение R на номер последнего символа, совпавшего с соответствующим символом из префикса.

Скорость работыПравить

Время работы алгоритма, вычисляющего значение Z-функции строки S оценивается в $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $O(\left|S\right|)$ . Докажем это.

Рассмотрим i-й символ строки. В алгоритме он рассматривается не более двух раз: первый раз, когда попадает в отрезок , и второй раз при вычислении Z[i].

Таким образом цикл обрабатывает не более $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $2\left|S\right|$ итераций.

Примеры использованияПравить

1) Z-функцию можно использовать для поиска образца T в строке S,

2) Зная Z-функцию строки, можно однозначно восстановить префикс-функцию этой строки, и наоборот.

Пример реализации на PythonПравить

def z_func(s):
  z = [0] * len(s)
  left, right = 0, 0
  for i in range(1, len(s)):
    z[i] = max(0, min(z[i - left], right - i))
    while i + z[i] < len(s) and s[z[i]] == s[i + z[i]]:
      z[i] += 1
    if i + z[i] > right:
      left, right = i, i + z[i]
  return z

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

↑ Gusfield D. Algorithms on Strings, Trees, and Sequences (англ.): Computer Science and Computational Biology — Cambridge University Press, 1997. — 556 p. — ISBN 978-0-511-57493-1 — doi:10.1017/CBO9780511574931
↑ Main M. G., Lorentz R. J. An O(n log n) algorithm for finding all repetitions in a string (англ.) // Journal of Algorithms — Academic Press, 1984. — Vol. 5, Iss. 3. — P. 422—432. — ISSN 0196-6774; 1090-2678 — doi:10.1016/0196-6774(84)90021-X

СсылкиПравить

Статья на MAXimal::algo
Задача для проверки (недоступная ссылка)

[1] Gusfield D. Algorithms on Strings, Trees, and Sequences (англ.): Computer Science and Computational Biology — Cambridge University Press, 1997. — 556 p. — ISBN 978-0-511-57493-1 — doi:10.1017/CBO9780511574931

[2] Main M. G., Lorentz R. J. An O(n log n) algorithm for finding all repetitions in a string (англ.) // Journal of Algorithms — Academic Press, 1984. — Vol. 5, Iss. 3. — P. 422—432. — ISSN 0196-6774; 1090-2678 — doi:10.1016/0196-6774(84)90021-X

[1]

[2]