Уравнение xʸ = yˣ

Хотя операция возведения в степень не является коммутативной, равенство $x^y=y^x$$x^{y}=y^{x}$ выполняется для некоторых пар $(x,y),$$(x,y),$ например, $x=2,y=4.$$x=2,y=4.$

ИсторияПравить

Уравнение $x^y=y^x$$x^{y}=y^{x}$  упомянуто в письме Бернулли к Гольдбаху (29 июня 1728). В письме говорится, что при $x\ne <!--\; \ne \; -->y$$x\ne y$  пара $(2,4)$$(2,4)$  — единственное (с точностью до перестановки) решение в натуральных числах, хотя существует бесконечно много решений в рациональных числах. В ответном письме Гольдбаха (31 января 1729) содержится общее решение уравнения, полученное заменой $y=vx.$$y=vx.$  Аналогичное решение дано Эйлером. И. ван Хенгель (J. van Hengel) указал на то, что если $r,n$$r,n$  — положительные целые, $r⩾<!--\; ⩾\; -->3$$r\geqslant 3$  или $n⩾<!--\; ⩾\; -->3,$$n\geqslant 3,$  то $r^{r+n}>(r+n{)}^r,$$r^{r+n}>(r+n)^{r},$  таким образом для решения уравнения в натуральных числах достаточно рассмотреть случаи $x=1$$x=1$  и $x=2.$$x=2.$ 

Задача неоднократно рассматривалась в математической литературе. В 1960 году уравнение оказалось в числе заданий на олимпиаде имени Патнема, что подтолкнуло А. Хауснера к расширению результатов на алгебраические поля.

Решения в действительных числахПравить

Основной источник:

Бесконечное множество тривиальных решений в положительных действительных числах находится как решения уравнения $x=y.$$x=y.$  Нетривиальные решения можно найти, положив $x\ne <!--\; \ne \; -->y,$$x\neq y,$  $y=vx.$$y=vx.$  Тогда

$(vx{)}^x=x^{vx}=(x^v{)}^x.$$(vx)^{x}=x^{vx}=(x^{v})^{x}.$ 

Возведение обеих сторон в степень $\frac{1}{x}$${\tfrac {1}{x}}$  с последующим делением на $x$$x$  даёт

$v=x^{v-<!--\; -\; -->1}.$$v=x^{v-1}.$ 

Тогда нетривиальные решения в положительных действительных числах выражены как

$x=v^{\frac{1}{v-<!--\; -\; -->1}},$$x=v^{\frac {1}{v-1}},$ 

$y=v^{\frac{v}{v-<!--\; -\; -->1}}.$$y=v^{\frac {v}{v-1}}.$ 

Нетривиальное решение в натуральных числах $4^2=2^4$$4^{2}=2^{4}$  можно получить, положив $v=2$$v=2$  или $v=\frac{1}{2}.$$v={\tfrac {1}{2}}.$ 

Решение в терминах W-функции ЛамбертаПравить

Решение уравнения $y^x=x^y$$y^{x}=x^{y}$  возможно также выразить через неэлементарную W-функцию Ламберта $W(x)$$W(x)$  от переменной $x$$x$ :

$y^x=x^y⟺<!--\; ⟺\; -->y^{\frac{1}{y}}=x^{\frac{1}{x}}$$y^{x}=x^{y}\Longleftrightarrow y^{\frac {1}{y}}=x^{\frac {1}{x}}$ , сделаем замену $x=\frac{1}{z}$$x={\frac {1}{z}}$ :

$y^{\frac{1}{y}}=(\frac{1}{z}{)}^{1÷<!--\; ÷\; -->\frac{1}{z}}⟺<!--\; ⟺\; -->(\frac{1}{z}{)}^z=y^{\frac{1}{y}}⟺<!--\; ⟺\; -->z^{-<!--\; -\; -->z}=y^{\frac{1}{y}}⟺<!--\; ⟺\; -->z^z=y^{-<!--\; -\; -->\frac{1}{y}}$$y^{\frac {1}{y}}={\biggl (}{\frac {1}{z}}{\biggr )}^{1\div {\frac {1}{z}}}\Longleftrightarrow {\biggl (}{\frac {1}{z}}{\biggr )}^{z}=y^{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow z^{-z}=y^{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow z^{z}=y^{-{\frac {1}{y}}}$ 

Теперь переменную $z$$z$  можно выразить через W-функцию Ламберта: $z=e^{W(\ln <!--\; \; -->(y^{-<!--\; -\; -->\frac{1}{y}}))}$$z=e^{W{\bigl (}\ln {\bigl (}y^{-{\frac {1}{y}}}{\bigr )}{\bigr )}}$ 

Окончательно решение будет выглядеть так: $x=e^{-<!--\; -\; -->W(\ln <!--\; \; -->(y^{-<!--\; -\; -->\frac{1}{y}}))}$$x=e^{-W{\bigl (}\ln {\bigl (}y^{-{\frac {1}{y}}}{\bigr )}{\bigr )}}$ 

В частности, в виду неоднозначности данной функции, на промежутке $e^{-{\frac {1}{e}}}\leqslant y^{-{\frac {1}{y}}}<1$  или $e^{\frac {1}{e}}\leqslant y^{\frac {1}{y}}<1$  уравнение буде иметь два корня $x_1,x_2$$x_{1},x_{2}$ .

Какой из параметров ($y$$y$  или $x$$x$ ), будет переменной, в сущности, не важно, формула останется такой же.

Если при переменной $x$$x$ (или $y$$y$ ) верно неравенство $y$$y$ (или $x$$x$ )<$e^{\frac{1}{e}}$$e^{\frac {1}{e}}$ , то корней в действительных числах нет.

Решение в терминах суперкорня второй степениПравить

Уравнение $y^x=x^y$$y^{x}=x^{y}$  является частным случаем уравнения $y^x=b{x}^n,y,b=const$$y^{x}=bx^{n},{\text{ }}y,b=const$  при $b=1$$b=1$  и $n=y$$n=y$ . Подставив эти значения в общую формулу решения легко найти и решение исходного уравнения:

$y^x=x^y⟺<!--\; ⟺\; -->x_{1,2,3}=y{\log }_y<!--\; \; -->({}^{\frac{1}{2}}(y^{\pm <!--\; \pm \; -->\frac{1}{y\times <!--\; \times \; -->\sqrt[y]{1}}}){)}^{-<!--\; -\; -->1}⟺<!--\; ⟺\; -->x_{1,2,3}=-<!--\; -\; -->y{\log }_y<!--\; \; -->({}^{\frac{1}{2}}(y^{\pm <!--\; \pm \; -->\frac{1}{y}}))$$y^{x}=x^{y}\Longleftrightarrow x_{1,2,3}=y\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}{\Bigl (}y^{\pm {\frac {1}{y\times {\sqrt[{y}]{1}}}}}{\Bigr )}{\biggr )}^{-1}\Longleftrightarrow x_{1,2,3}=-y\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}{\Bigl (}y^{\pm {\frac {1}{y}}}{\Bigr )}{\biggr )}$ 

Данное решение более полно, так как позволяет получить отрицательные действительные корни, если они существуют (потому что логарифм, в отличие от экспоненты в предыдущем решении, может быть меньше нуля). Существование третьего корня объясняется эквивалентностью уравнений $y^x=x^y$$y^{x}=x^{y}$  и $y^x=(-<!--\; -\; -->x{)}^y$$y^{x}=(-x)^{y}$  при чётном $y$$y$ , однако, на практике, существует только, максимум, два действительных корня (третий корень в формуле обязательно посторонний) из-за того, что функция суперкорня второй степени $f(z)={}^{\frac{1}{2}}z$$f(z)={}^{\frac {1}{2}}z$  есть обратная к вышеописанной функции $f(z)=z^z$$f(z)=z^{z}$  (иначе $f(z)={}^{2}z$$f(z)={}^{2}z$ ), которая выражается через W-функцию Ламберта, которая, в свою очередь, принимать более двух действительных значений не может.

Из данного решения вытекает тождественное равенство: $-<!--\; -\; -->y{\log }_y<!--\; \; -->{}^{\frac{1}{2}}(y^{-<!--\; -\; -->\frac{1}{y}})=\frac{1}{{}^{\frac{1}{2}}(y^{-<!--\; -\; -->\frac{1}{y}})}$$-y\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})={\frac {1}{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}}$ . Это легко доказать, приравняв оба вышеописанных решения друг к другу:

$-<!--\; -\; -->y{\log }_y<!--\; \; -->{}^{\frac{1}{2}}(y^{-<!--\; -\; -->\frac{1}{y}})=\frac{1}{{}^{\frac{1}{2}}(y^{-<!--\; -\; -->\frac{1}{y}})}⟺<!--\; ⟺\; -->{}^{\frac{1}{2}}(y^{-<!--\; -\; -->\frac{1}{y}}){\log }_y<!--\; \; -->{}^{\frac{1}{2}}(y^{-<!--\; -\; -->\frac{1}{y}})=-<!--\; -\; -->\frac{1}{y}$$-y\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})={\frac {1}{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}}\Longleftrightarrow {}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})=-{\frac {1}{y}}$ , далее согласно свойствам логарифма и суперкорня второй степени:

${\log }_y<!--\; \; -->({}^{\frac{1}{2}}(y^{-<!--\; -\; -->\frac{1}{y}}){)}^{{}^{\frac{1}{2}}(y^{-<!--\; -\; -->\frac{1}{y}})}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{y}⟺<!--\; ⟺\; -->{\log }_y<!--\; \; -->(y^{-<!--\; -\; -->\frac{1}{y}})=-<!--\; -\; -->\frac{1}{y}$$\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}}){\biggr )}^{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}=-{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow \log _{y}(y^{-{\frac {1}{y}}})=-{\frac {1}{y}}$ . Доказанное тождество является частным от более общего случая при $b=-<!--\; -\; -->y$$b=-y$ .

СсылкиПравить

• Rational Solutions to x^y = y^x  (неопр.). CTK Wiki Math.
• x^y = y^x - commuting powers  (неопр.). Arithmetical and Analytical Puzzles. Torsten Sillke. Архивировано 28 декабря 2015 года.
• dborkovitz. Parametric Graph of x^y=y^x  (неопр.). GeoGebra (29 января 2012).
• Последовательность A073084 в OEIS: Десятичное разложение -x, где x — отрицательное решение уравнения 2^x = x^2