t-критерий Уэлча

t-критерий Уэлча — тест, основанный на распределении Стьюдента и предназначенный для проверки статистической гипотезы о равенстве математических ожиданий случайных величин, имеющих необязательно равные известные дисперсии. Является модификацией t-критерия Стьюдента. Назван в честь британского статистика Бернарда Льюиса Уэлча.

ПредпосылкиПравить

Для применения двухвыборочного t-критерия Стьюдента необходимо, чтобы две независимые выборки имели нормальное распределение средних и истинные дисперсии были равны. В случае t-критерия Уэлча истинные дисперсии уже могут быть не равны, но предпосылка о нормальном распределении средних сохраняется.

Вычисление статистикиПравить

Пусть даны две независимые выборки нормально распределённых случайных величин:

$X_1,...,X_{n_x}\sim <!--\; \sim \; -->\mathcal{N}({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_x,{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x^2)$$X_{1},...,X_{n_{x}}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{x},\sigma _{x}^{2})$ 

$Y_1,...,Y_{n_y}\sim <!--\; \sim \; -->\mathcal{N}({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_y,{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y^2)$$Y_{1},...,Y_{n_{y}}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{y},\sigma _{y}^{2})$ 

Проверяем следующую нулевую гипотезу о равенстве математический ожиданий:

$H_0:{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_x={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_y$$H_{0}:\mu _{x}=\mu _{y}$ 

Пусть нулевая гипотеза верна. Тогда $E(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Y})=0$$E({\overline {X}}-{\overline {Y}})=0$  и $Var(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Y})=\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x^2}{n_x}+\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y^2}{n_y}$$Var({\overline {X}}-{\overline {Y}})={\dfrac {\sigma _{x}^{2}}{n_{x}}}+{\dfrac {\sigma _{y}^{2}}{n_{y}}}$ . Пусть ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}_x^2=\underset{i=1}{\overset{n_x}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(X_i-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}{)}^2}{n_x-<!--\; -\; -->1}$${\hat {\sigma }}_{x}^{2}=\sum _{i=1}^{n_{x}}{\dfrac {(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}{n_{x}-1}}$  и ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}_y^2=\underset{i=1}{\overset{n_y}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(Y_i-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Y}{)}^2}{n_y-<!--\; -\; -->1}$${\hat {\sigma }}_{y}^{2}=\sum _{i=1}^{n_{y}}{\dfrac {(Y_{i}-{\overline {Y}})^{2}}{n_{y}-1}}$  — несмещенные оценки дисперсий ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x^2$$\sigma _{x}^{2}$  и ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y^2$$\sigma _{y}^{2}$  соответственно. Рассчитаем следующую статистику:

$t=\frac{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Y}}{\sqrt{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{Var}(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Y})}}=\frac{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Y}}{\sqrt{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{Var}(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X})+\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{Var}(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Y})}}=\frac{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Y}}{\sqrt{\frac{{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}_x^2}{n_x}+\frac{{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}_y^2}{n_y}}}$$t={\dfrac {{\bar {X}}-{\bar {Y}}}{\sqrt {{\widehat {Var}}({\bar {X}}-{\bar {Y}})}}}={\dfrac {{\bar {X}}-{\bar {Y}}}{\sqrt {{\widehat {Var}}({\bar {X}})+{\widehat {Var}}({\bar {Y}})}}}={\dfrac {{\bar {X}}-{\bar {Y}}}{\sqrt {{\dfrac {{\hat {\sigma }}_{x}^{2}}{n_{x}}}+{\dfrac {{\hat {\sigma }}_{y}^{2}}{n_{y}}}}}}$ 

Сделаем следующее преобразование:

$t=\frac{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Y}}{\sqrt{\frac{{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}_x^2}{n_x}+\frac{{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}_y^2}{n_y}}}=\frac{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Y}}{\sqrt{\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x^2}{n_x}+\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y^2}{n_y}}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\sqrt{\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x^2}{n_x}+\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y^2}{n_y}}}{\sqrt{\frac{{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}_x^2}{n_x}+\frac{{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}_y^2}{n_y}}}$$t={\dfrac {{\bar {X}}-{\bar {Y}}}{\sqrt {{\dfrac {{\hat {\sigma }}_{x}^{2}}{n_{x}}}+{\dfrac {{\hat {\sigma }}_{y}^{2}}{n_{y}}}}}}={\dfrac {{\bar {X}}-{\bar {Y}}}{\sqrt {{\dfrac {\sigma _{x}^{2}}{n_{x}}}+{\dfrac {\sigma _{y}^{2}}{n_{y}}}}}}\cdot {\dfrac {\sqrt {{\dfrac {\sigma _{x}^{2}}{n_{x}}}+{\dfrac {\sigma _{y}^{2}}{n_{y}}}}}{\sqrt {{\dfrac {{\hat {\sigma }}_{x}^{2}}{n_{x}}}+{\dfrac {{\hat {\sigma }}_{y}^{2}}{n_{y}}}}}}$ 

Распределение первой статистики является стандартным нормальным распределением:

$\frac{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Y}}{\sqrt{\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x^2}{n_x}+\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y^2}{n_y}}}\sim <!--\; \sim \; -->\mathcal{N}(0,1)$${\dfrac {{\bar {X}}-{\bar {Y}}}{\sqrt {{\dfrac {\sigma _{x}^{2}}{n_{x}}}+{\dfrac {\sigma _{y}^{2}}{n_{y}}}}}}\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ 

Рассмотрим вторую статистику и для дальнейших вычислений назовем её $S$$S$ :

$S=\frac{\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x^2}{n_x}+\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y^2}{n_y}}{\frac{{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}_x^2}{n_x}+\frac{{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}_y^2}{n_y}}$$S={\dfrac {{\dfrac {\sigma _{x}^{2}}{n_{x}}}+{\dfrac {\sigma _{y}^{2}}{n_{y}}}}{{\dfrac {{\hat {\sigma }}_{x}^{2}}{n_{x}}}+{\dfrac {{\hat {\sigma }}_{y}^{2}}{n_{y}}}}}$ 

Статистика $S$$S$  напоминает случайную величину с распределением хи-квадрат, поделенную на степень свободы, но таковой не является. Пусть $Z\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_d^2$$Z\sim \chi _{d}^{2}$  является случайной величиной с распределением хи-квадрат с $d$$d$  степенями свободы. Тогда $\frac{Z}{d}⩾<!--\; ⩾\; -->0$${\dfrac {Z}{d}}\geqslant 0$ , равно как и $S⩾<!--\; ⩾\; -->0$$S\geqslant 0$ . Теперь заметим, что $E(S)=1$$E(S)=1$  (так как мы используем несмещенные оценки дисперсий), а $E\left(\frac{Z}{d}\right)=\frac{E(Z)}{d}=\frac{d}{d}=1$$E\left({\dfrac {Z}{d}}\right)={\dfrac {E(Z)}{d}}={\dfrac {d}{d}}=1$ .

Раз мы хотим, чтобы $S$$S$  была максимально похожа на $\frac{Z}{d}\sim <!--\; \sim \; -->\frac{{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_d^2}{d}$${\dfrac {Z}{d}}\sim {\dfrac {\chi _{d}^{2}}{d}}$ , то приравняем дисперсии данных случайных величин:

$Var(S)=Var\left(\frac{Z}{d}\right)=\frac{2}{d}$$Var(S)=Var\left({\dfrac {Z}{d}}\right)={\dfrac {2}{d}}$ 

Рассчитаем дисперсию случайной величины $S$$S$ :

$Var(S)=\frac{1}{{\left(\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x^2}{n_x}+\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y^2}{n_y}\right)}^2}\left(\frac{1}{n_x^2}Var({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}_x^2)+\frac{1}{n_y^2}Var({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}_y^2)\right)=\frac{1}{{\left(\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x^2}{n_x}+\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y^2}{n_y}\right)}^2}\left(\frac{2({\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x^2{)}^2}{n_x^2(n_x-<!--\; -\; -->1)}+\frac{2({\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y^2{)}^2}{n_y^2(n_y-<!--\; -\; -->1)}\right)=\frac{2}{d}$$Var(S)={\dfrac {1}{\left({\dfrac {\sigma _{x}^{2}}{n_{x}}}+{\dfrac {\sigma _{y}^{2}}{n_{y}}}\right)^{2}}}\left({\dfrac {1}{n_{x}^{2}}}Var({\hat {\sigma }}_{x}^{2})+{\dfrac {1}{n_{y}^{2}}}Var({\hat {\sigma }}_{y}^{2})\right)={\dfrac {1}{\left({\dfrac {\sigma _{x}^{2}}{n_{x}}}+{\dfrac {\sigma _{y}^{2}}{n_{y}}}\right)^{2}}}\left({\dfrac {2(\sigma _{x}^{2})^{2}}{n_{x}^{2}(n_{x}-1)}}+{\dfrac {2(\sigma _{y}^{2})^{2}}{n_{y}^{2}(n_{y}-1)}}\right)={\dfrac {2}{d}}$ 

Отсюда:

$d=\frac{{\left(\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x^2}{n_x}+\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y^2}{n_y}\right)}^2}{\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x^4}{n_x^2(n_x-<!--\; -\; -->1)}+\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y^4}{n_y^2(n_y-<!--\; -\; -->1)}}$$d={\dfrac {\left({\dfrac {\sigma _{x}^{2}}{n_{x}}}+{\dfrac {\sigma _{y}^{2}}{n_{y}}}\right)^{2}}{{\dfrac {\sigma _{x}^{4}}{n_{x}^{2}(n_{x}-1)}}+{\dfrac {\sigma _{y}^{4}}{n_{y}^{2}(n_{y}-1)}}}}$ 

В конечном итоге имеем при справедливости нулевой гипотезы:

$t\stackrel{approx.}{\sim <!--\; \sim \; -->}{t}_d$$t{\stackrel {approx.}{\sim }}t_{d}$ ,

где $d$$d$  находится как:

$d=\frac{{\left(\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x^2}{n_x}+\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y^2}{n_y}\right)}^2}{\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x^4}{n_x^2(n_x-<!--\; -\; -->1)}+\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y^4}{n_y^2(n_y-<!--\; -\; -->1)}}$$d={\dfrac {\left({\dfrac {\sigma _{x}^{2}}{n_{x}}}+{\dfrac {\sigma _{y}^{2}}{n_{y}}}\right)^{2}}{{\dfrac {\sigma _{x}^{4}}{n_{x}^{2}(n_{x}-1)}}+{\dfrac {\sigma _{y}^{4}}{n_{y}^{2}(n_{y}-1)}}}}$ 

При достаточно больших объёмах выборок мы можем воспользоваться нормальной аппроксимацией:

$t=\frac{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Y}}{\sqrt{\frac{{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}_x^2}{n_x}+\frac{{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}_y^2}{n_y}}}\underset{n_x,n_y\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{}{\to }}\mathcal{N}(0,1)$$t={\dfrac {{\bar {X}}-{\bar {Y}}}{\sqrt {{\dfrac {{\hat {\sigma }}_{x}^{2}}{n_{x}}}+{\dfrac {{\hat {\sigma }}_{y}^{2}}{n_{y}}}}}}{\xrightarrow[{n_{x},n_{y}\rightarrow \infty }]{}}{\mathcal {N}}(0,1)$ 

Двухвыборочный t-критерий Уэлча для независимых выборокПравить

Пусть даны две независимые выборки нормально распределённых случайных величин:

$X_1,...,X_{n_x}\sim <!--\; \sim \; -->\mathcal{N}({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_x,{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x^2)$$X_{1},...,X_{n_{x}}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{x},\sigma _{x}^{2})$ 

$Y_1,...,Y_{n_y}\sim <!--\; \sim \; -->\mathcal{N}({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_y,{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y^2)$$Y_{1},...,Y_{n_{y}}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{y},\sigma _{y}^{2})$ 

При нулевой гипотезе $H_0:{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_x={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_y$$H_{0}:\mu _{x}=\mu _{y}$  мы рассчитываем следующую статистику:

$t=\frac{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Y}}{\sqrt{\frac{{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}_x^2}{n_x}+\frac{{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}_y^2}{n_y}}}$$t={\dfrac {{\bar {X}}-{\bar {Y}}}{\sqrt {{\dfrac {{\hat {\sigma }}_{x}^{2}}{n_{x}}}+{\dfrac {{\hat {\sigma }}_{y}^{2}}{n_{y}}}}}}$ 

Пусть альтернативная гипотеза $H_1:{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_x\ne <!--\; \ne \; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_y$$H_{1}:\mu _{x}\neq \mu _{y}$ .

При справедливости нулевой гипотезы распределение $t$$t$  будет приблизительно являться распределением Стьюдента с $d$$d$  степенями свободы:

$t\stackrel{approx.}{\sim <!--\; \sim \; -->}{t}_d$$t{\stackrel {approx.}{\sim }}t_{d}$ ,

где $d$$d$  находится как:

$d=\frac{{\left(\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x^2}{n_x}+\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y^2}{n_y}\right)}^2}{\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x^4}{n_x^2(n_x-<!--\; -\; -->1)}+\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y^4}{n_y^2(n_y-<!--\; -\; -->1)}}$$d={\dfrac {\left({\dfrac {\sigma _{x}^{2}}{n_{x}}}+{\dfrac {\sigma _{y}^{2}}{n_{y}}}\right)^{2}}{{\dfrac {\sigma _{x}^{4}}{n_{x}^{2}(n_{x}-1)}}+{\dfrac {\sigma _{y}^{4}}{n_{y}^{2}(n_{y}-1)}}}}$ 

Следовательно, при превышении значения наблюдаемой статистики по абсолютной величине критического значения данного распределения (при заданном уровне значимости) нулевая гипотеза отвергается.

ПримерПравить

В следующих примерах будем сравнивать t-критерий Стьюдента и t-критерий Уэлча. Выборки сгенерированы модулем numpy.random для языка программирования Python.

Для всех трех примеров математические ожидания будут равны ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_x=20$$\mu _{x}=20$  и ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_y=22$$\mu _{y}=22$  соответственно.

В первом примере истинные дисперсии равны (${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x^2={\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y^2=4$$\sigma _{x}^{2}=\sigma _{y}^{2}=4$ ) и объёмы выборок равны ($n_x=n_y=15$$n_{x}=n_{y}=15$ ). Обозначим за $S_X$$S_{X}$  и $S_Y$$S_{Y}$  как соответствующие случайные выборки:

${\begin{aligned}S_{X}&=\{19.17,21.41,23.83,15.72,21.44,20.93,21.53,21.76,21.62,18.11,19.74,18.74,17.12,21.30,21.97\}\\S_{Y}&=\{19.71,22.77,22.85,26.21,21.60,21.50,25.43,21.45,24.69,22.69,20.21,26.24,21.43,22.49,20.76\}\end{aligned}}$ 

Во втором примере истинные дисперсии неравны (${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x^2=16$$\sigma _{x}^{2}=16$ , ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y^2=1$$\sigma _{y}^{2}=1$ ) и неравные объёмы у выборок ($n_x=10$$n_{x}=10$ ,$n_y=20$$n_{y}=20$ ). У меньшей выборки большая дисперсия:

${\begin{aligned}S_{X}&=\{18.33,22.82,27.66,11.43,22.88,21.87,23.07,23.53,23.24,16.21\}\\S_{Y}&=\{21.87,21.37,20.56,22.65,22.98,20.86,22.39,22.43,24.11,21.80,21.75,23.71,21.73,23.35,22.34,21.10,24.12,21.71,22.24,21.38\}\end{aligned}}$ 

В третьем примере истинные дисперсии неравны (${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x^2=1$$\sigma _{x}^{2}=1$ , ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y^2=16$$\sigma _{y}^{2}=16$ ) и неравные объёмы у выборок ($n_x=10$$n_{x}=10$ ,$n_y=20$$n_{y}=20$ ). У большей выборки большая дисперсия:

${\begin{aligned}S_{X}&=\{19.58,20.71,21.92,17.86,20.72,20.47,20.77,20.88,20.81,19.05\}\\S_{Y}&=\{21.48,19.48,16.25,24.61,25.94,17.42,23.55,23.71,30.43,21.21,21.01,28.86,20.91,27.39,23.37,18.42,30.47,20.86,22.97,19.52\}\end{aligned}}$ 

	Выборка $S_X$$S_{X}$	Выборка $S_Y$$S_{Y}$	t-критерий Стьюдента	t-критерий Уэлча
Пример	$n_x$$n_{x}$	$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}$$\overline {X}$	${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}_x^2$${\hat {\sigma }}_{x}^{2}$	$n_y$$n_{y}$	$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Y}$${\overline {Y}}$	${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}_y^2$${\hat {\sigma }}_{y}^{2}$	$t$$t$	$d$$d$	$p$$p$ -value	$p_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{m}}$$p_{\mathrm {sim} }$ -value	$t$$t$	$d$$d$	$p$$p$ -value	$p_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{m}}$$p_{\mathrm {sim} }$ -value
1	15	20.29	4.61	15	22.67	4.35	-3.07	28	0.005	0.005	−3.07	28.0	0.005	0.004
2	10	21.10	21.01	20	22.22	1.04	−1.06	28	0.299	0.465	−0.76	9.57	0.464	0.459
3	10	20.27	1.31	20	22.89	16.69	−1.97	28	0.059	0.015	−2.66	23.28	0.014	0.018

Для равных дисперсий и равных объёмов выборок t-критерий Стьюдента и t-критерий Уэлча выдали примерно одинаковый результат (пример 1). Для неравных дисперсий t-критерий Уэлча точнее оценивает истинное распределение статистики, чем t-критерий Стьюдента ($p$$p$ -value для t-критерия Уэлча ближе к моделированной $p_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{m}}$$p_{\mathrm {sim} }$ -value, чем для t-критерия Стьюдента).

Если неизвестно, равны ли дисперсии двух генеральных совокупностей, крайне не рекомендуется проводить пре-тесты для определения равенства дисперсий, а лучше сразу использовать t-критерий Уэлча.

Реализация в различных ПОПравить

Язык программирования / ПО	Функция	Примечание
LibreOffice	TTEST(Data1; Data2; Mode; Type)	Подробнее
MATLAB	ttest2(data1, data2, 'Vartype', 'unequal')	Подробнее
Microsoft Excel до 2010	TTEST(array1, array2, tails, type)	Подробнее
Microsoft Excel 2010 and позднее	T.TEST(array1, array2, tails, type) или ТТЕСТ(массив1;массив2;хвосты;тип)	Подробнее
Python	scipy.stats.ttest_ind(a, b, equal_var=False)	Подробнее
R	t.test(data1, data2, alternative="two.sided", var.equal=FALSE)	Подробнее
Haskell	Statistics.Test.StudentT.welchTTest SamplesDiffer data1 data2	Подробнее
Julia	UnequalVarianceTTest(data1, data2)	Подробнее
Stata	ttest varname1 == varname2, welch	Подробнее
Google Sheets	TTEST(range1, range2, tails, type)	Подробнее

ЛитератураПравить

B. L. Welch The Generalization of `Student’s' Problem when Several Different Population Variances are Involved // Vol. 34, No. 1/2 (Jan., 1947), pp. 28-35