P-группа

p-группа — группа, в которой порядок каждого элемента является степенью простого числа p.

ПримерыПравить

• Циклическая группа порядка $p^n$$p^{n}$  и прямые произведения таких групп.
  • Каждая коммутативная p-группа изоморфна одному из этих примеров.
• Группа Гейзенберга по модулю $p$$p$  — простейший пример некоммутативной p-группы.
• Группа Григорчука — пример бесконечной 2-группы.

СвойстваПравить

• Центр $Z(P)$$Z(P)$  нетривиальной конечной p-группы $P$$P$  является нетривиальной группой.
  • В частности, все p-группы нильпотентны.
  • Более того, если $H$$H$  нормальная подгруппа в p-группе $P$$P$ , то $|H\cap <!--\; \cap \; -->Z(P)|>1$$|H\cap Z(P)|>1$ .
    • Данное свойство получается из теоремы о центре, если учесть, что любая подгруппа p-группы сама является p-группой и что нормальная подгруппа инвариантна к сопряжениям.
• Если группа конечна, то ее порядок тогда тоже равен некоторой степени числа p (это следует из первой теоремы Силова).
  • Более того любая группа порядка $p^n$$p^{n}$  является p-группой (следует из теоремы Лежандра).
• При $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\rightarrow\infty$  число неизоморфних групп порядка $p^n$$p^{n}$  асимптотически равно

  $p^{\frac{2}{27}\cdot <!--\; \cdot \; -->n^3+O(n)}$$p^{{\frac {2}{27}}\cdot n^{3}+O(n)}$ .

См. такжеПравить

• Задача Бёрнсайда

ЛитератураПравить

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — М.: Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рус.)
• Холл М. Теория групп. — М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
• Gorenstein D. Finite groups — N. Y.: Harper and Row, 1968.