NP-полная задача

NP-полная задача — в теории алгоритмов задача с ответом «да» или «нет» из класса NP, к которой можно свести любую другую задачу из этого класса за полиномиальное время (то есть при помощи операций, число которых не превышает некоторого полинома в зависимости от размера исходных данных). Таким образом, NP-полные задачи образуют в некотором смысле подмножество «типовых» задач в классе NP: если для какой-то из них будет найден «полиномиально быстрый» алгоритм решения, то и любую другую задачу из класса NP можно будет решить так же «быстро».

Взаимоотношение между классами P, NP, NP-complete (NP-полными задачами), NP-hard (NP-трудными задачами) в случае, если P≠NP и если P=NP

Формальное определениеПравить

Алфавитом называется всякое конечное множество символов (например, { $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${0,1}$ } или { $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${a,b,c}$ }). Множество всех возможных слов (конечных строк, составленных из символов этого алфавита) над некоторым алфавитом $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\Sigma$ обозначается $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\Sigma ^{*}$ . Языком $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L$ над алфавитом $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\Sigma$ называется всякое подмножество множества $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\Sigma ^{*}$ , то есть $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L\subset \Sigma ^{*}$ .

Задачей распознавания для языка $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L$ называется определение того, принадлежит ли данное слово языку $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L$ .

Пусть $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L_{1}$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L_{2}$ — два языка над алфавитом $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\Sigma$ . Язык $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L_{1}$ называется сводимым (по Карпу) к языку $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L_{2}$ , если существует функция, $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f\colon \Sigma ^{*}\to \Sigma ^{*}$ , вычислимая за полиномиальное время, обладающая следующим свойством:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x\in L_{1}$ тогда и только тогда, когда $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f(x)\in L_{2}$ . Сводимость по Карпу обозначается как $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L_{1}{\leq }_{p}L_{2}$ или $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L_{1}\varpropto L_{2}$ .

Язык $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L_{2}$ называется NP-трудным, если любой язык из класса NP сводится к нему. Язык называют NP-полным, если он NP-труден, и при этом сам лежит в классе NP.

Неформально говоря, то что задача $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A$ сводится к задаче $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $B$ , означает, что задача $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A$ «не сложнее» задачи $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $B$ (так как, если мы можем решить $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $B$ , то можем решить и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A$ ). Таким образом, класс NP-трудных задач включает NP-полные задачи и задачи, которые «сложнее» их (то есть те задачи, к которым могут быть сведены NP-полные задачи). Класс NP включает NP-полные задачи и задачи, которые «легче» их (то есть те задачи, которые сводятся к NP-полным задачам).

Из определения следует, что, если будет найден алгоритм, решающий некоторую (любую) NP-полную задачу за полиномиальное время, то все NP-задачи окажутся в классе P, то есть будут решаться за полиномиальное время.

NP-полнота в сильном смыслеПравить

Задача называется NP-полной в сильном смысле, если у неё существует подзадача, которая:

не является задачей с числовыми параметрами (то есть максимальное значение величин, встречающихся в этой задаче, ограничено сверху полиномом от длины входа)
является NP-полной.

Класс таких задач называется NPCS. Если гипотеза P ≠ NP верна, то для NPCS-задачи не существует псевдополиномиального алгоритма^{[источник не указан 2112 дней]}.

Гипотеза P ≠ NPПравить

Вопрос о совпадении классов P и NP уже более тридцати лет является одной из центральных открытых проблем. Научное сообщество склоняется к отрицательному ответу на этот вопрос^[1] — в этом случае решать NP-полные задачи за полиномиальное время не удастся.

Примеры NP-полных задачПравить

См. такжеПравить

Равенство классов P и NP

ПримечанияПравить

↑ William I. Gasarch. The P=?NP poll. (неопр.) // SIGACT News. — 2002. — Т. 33, № 2. — С. 34—47. — doi:10.1145/1052796.1052804.
↑ Erik D. Demaine, Susan Hohenberger, David Liben-Nowell. Tetris is Hard, Even to Approximate (англ.). preprint.

ЛитератураПравить

Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи Архивная копия от 4 ноября 2019 на Wayback Machine. М.: Мир, 1982.
Томас Х. Кормен и др. Глава 34. NP-полнота // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — 1296 с. — ISBN 0-07-013151-1.
Джон Хопкрофт, Раджив Мотвани, Джеффри Ульман. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений = Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. — М.: «Вильямс», 2002. — 528 с. — ISBN 0-201-44124-1.

СсылкиПравить

NP-полнота
Вычислительная сложность игр и головоломок Архивная копия от 6 декабря 2006 на Wayback Machine (англ.)
A compendium of NP optimization problems. Editors — Pierluigi Crescenzi, Viggo Kann Архивная копия от 5 декабря 2006 на Wayback Machine (англ.)

[1] William I. Gasarch. The P=?NP poll. (неопр.) // SIGACT News. — 2002. — Т. 33, № 2. — С. 34—47. — doi:10.1145/1052796.1052804.

[2] Erik D. Demaine, Susan Hohenberger, David Liben-Nowell. Tetris is Hard, Even to Approximate (англ.). preprint.

[1]

[2]