MHAT-вейвлет

MHAT-вейвлет (Mexican HAT — «Мексиканская шляпа») — вейвлет-функция, получаемая двукратным дифференцированием функции Гаусса:

График MHAT-вейвлета

$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t)=-<!--\; -\; -->\frac{d^2}{d{t}^2}{e}^{-<!--\; -\; -->t^2/2}=(1-<!--\; -\; -->t^2)e^{-<!--\; -\; -->t^2/2}$$\psi (t)=-{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}e^{-t^{2}/2}=(1-t^{2})e^{-t^{2}/2}$

Преобразование Фурье для этого вейвлета имеет следующий вид:

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{e}^{-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2/2}$${\hat {\psi }}(\omega )={\sqrt {2\pi }}\omega ^{2}e^{-\omega ^{2}/2}$

Этот вейвлет имеет хорошую локализацию и по времени, и по частоте. Мерой локализации служат центры и радиусы, которые для функций$z(t)\in <!--\; \in \; -->L^2(R)$$z(t)\in L^{2}(R)$ выражается следующим образом:

$⟨<!--\; ⟨\; -->t⟩<!--\; ⟩\; -->=\frac{1}{||z|{|}^2}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}t|z(t){|}^{2}dt,{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_t^2=\frac{1}{||z|{|}^2}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}[t-<!--\; -\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->t⟩<!--\; ⟩\; -->{]}^2|z(t){|}^{2}dt$$\langle t\rangle ={\frac {1}{||z||^{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }t|z(t)|^{2}dt,\ \Delta _{t}^{2}={\frac {1}{||z||^{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }[t-\langle t\rangle ]^{2}|z(t)|^{2}dt$

Для MHAT-вейвлета центры и радиусы во временной области (t) и в частотной (ω) имеют следующие значения:

$⟨<!--\; ⟨\; -->t⟩<!--\; ⟩\; -->=0,{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_t=1.08,⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->=1.51,{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}=0.49$$\langle t\rangle =0,\ \Delta _{t}=1.08,\ \langle \omega \rangle =1.51,\ \Delta _{\omega }=0.49$

Первый и второй моменты у этого вейвлета также нулевые.

Функция получила своё название — Мексиканская шляпа — из-за сходства её графика с сомбреро.

СсылкиПравить

• Витязев В. В. Вейвлет-анализ временных рядов. — Издательство Санкт-Петербургского государственного университета, 2001. — С. 11. — 58 с.
• Вейвлет-преобразование  (неопр.).