LC-осциллятор

LC-осциллятор — электрическая цепь, состоящая в простейшем случае из параллельно соединенных емкости, индуктивности и нелинейного сопротивления, вольт-амперная характеристика которого имеет отрицательную дифференциальную проводимость $g=di/du$${g=di/du}$ в области малых напряжений. Дифференциальное уравнение цепи имеет вид

$\frac{d^{2}u}{d{t}^2}+\frac{g(u)}{C}\frac{du}{dt}+\frac{1}{LC}u=0,(1)$${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+{\frac {g(u)}{C}}{\frac {du}{dt}}+{\frac {1}{LC}}u=0,\quad (1)$

Если ВАХ нелинейного сопротивления аппроксимировать сокращенным полиномом третьего порядка $i(u)=a_{1}u+a_3{u}^3$$i(u)=a_{1}u+a_{3}u^{3}$, то при отрицательном коэффициенте $a_1$$a_{1}$ , положительном $a_3$$a_{3}$ и численном равенстве $a_1=-<!--\; -\; -->a_3$$a_{1}=-a_{3}$ уравнение (1) совпадает с уравнением Ван дер Поля. В общем случае уравнение (1) не имеет аналитического решения. Существует возможность получения стационарного решения в квадратурах для частных случаев. Одним из них является аппроксимация ВАХ прямой, проходящей через начало координат, с изломом в точке $U_0$$U_{{0}}$ таким образом, чтобы дифференциальная проводимость описывалась выражением

$g(u)=\left\{{\begin{matrix}kG,&u\geq U_{0};\\-G,&u<U_{0},\end{matrix}}\right.$

где $k$$k$, $G$$G$ и $U_0$$U_{{0}}$ — положительные константы. При $k<1$ система неустойчива, при $k>1$$k>1$ и малых $G$$G$ в системе возникают стационарные колебания, близкие по форме к гармоническим. На отдельных интервалах периода колебания стационарное решение однородного уравнения (1) при $kG<{\sqrt {C/L}}$ имеет вид:

$u(t)=\left\{{\begin{matrix}u_{1}=(a_{1}\sin \omega _{1}t+a_{2}\cos \omega _{1}t)exp{(-\delta _{1}t)};\quad 0\leq t<t_{1};\\u_{2}=(a_{2}\sin \omega _{2}t+a_{2}\cos \omega _{2}t)exp(\delta _{2}\,t);\quad \,t_{1}<t\leq T,\end{matrix}}\right.$

где ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_1=kG/(2C)$$\delta _{1}=kG/(2C)$, ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_2=G/(2C)$$\delta _{2}=G/(2C)$, ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1=\sqrt{1/(LC)-<!--\; -\; -->(kG/2C{)}^2}$$\omega _{1}={\sqrt {1/(LC)-(kG/2C)^{2}}}$, ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_2=\sqrt{1/(LC)-<!--\; -\; -->(G/2C{)}^2}$$\omega _{2}={\sqrt {1/(LC)-(G/2C)^{2}}}$.
Период колебания $T$$T$ , момент времени $t_1$$t_{1}$, служащий границей интервалов, на которых рассматривается (1) и постоянные интегрирования $a_{1,2}$$a_{1,2}$, $b_{1,2}$$b_{1,2}$ определяются из решения системы уравнений

$u_1(0)=U_0$$u_{1}(0)=U_{0}$; $u_1(t_1)=U_0$$u_{1}(t_{1})=U_{0}$; $u_1(0)=u_2(T)$$u_{1}(0)=u_{2}(T)$; $u_1(t_1)=u_2(t_1)$$u_{1}(t_{1})=u_{2}(t_{1})$; ${\begin{array}{c}d{u}_1/dt\end{array}|}_0={\begin{array}{c}d{u}_2/dt\end{array}|}_T$$\left.{\begin{matrix}du_{1}/dt\end{matrix}}\right|_{0}=\left.{\begin{matrix}du_{2}/dt\end{matrix}}\right|_{T}$; ${\begin{array}{c}d{u}_1/dt\end{array}|}_{t_1}={\begin{array}{c}d{u}_2/dt\end{array}|}_{t_1}$$\left.{\begin{matrix}du_{1}/dt\end{matrix}}\right|_{t_{1}}=\left.{\begin{matrix}du_{2}/dt\end{matrix}}\right|_{t_{1}}$.

Коэффициенты решения (1), полученные численно с ошибкой в последнем разряде при $L=1$$L=1$ Гн, $C=1$$C=1$ Ф, $G=0,2$$G=0,2$ См, $U_0=1$$U_{0}=1$ B и $k=2$$k=2$:

$a_1=4,66464104629771$$a_{1}=4,66464104629771$,B; $a_2=1$$a_{2}=1$,B; $b_1=2,13803529592679$$b_{1}=2,13803529592679$,B; $b_2=0,0116873463357039$$b_{2}=0,0116873463357039$,B; $t_1=2,78836465601698$$t_{1}=2,78836465601698$,с; $T=6,55583946961978$$T=6,55583946961978$, с.

Рис.1. Колебание, близкое к гармоническому

В случае $G>\sqrt{C/L}$$G>{\sqrt {C/L}}$ генерируемые колебания становятся релаксационными, решение ищется в виде суммы двух экспоненциальных функций, но константы решения определяются по-прежнему из условия непрерывности $u(t)$$u(t)$ и $du/dt$$du/dt$ в точках сшивания $t=0$$t=0$ , $t=t_1$$t=t_{1}$ и $t=T$$t=T$.

Дифференциальная проводимость $g(u)$$g(u)$ может быть задана и иным образом.