K-пространство (топология)

Для термина «k-пространство» см. также другие значения.

k-пространство (компактно порождённое пространство) — топологическое пространство, в котором замкнуты все множества, пересечение которых с каждым компактным подмножеством этого пространства замкнуто. Часто к этому добавляют требование хаусдорфовости пространства.

ОпределениеПравить

Топологическое пространство $X$$X$  называют k-пространством, если его топология согласована с семейством всех его компактных подпространств, то есть если в нём для каждого подмножества $A\subset <!--\; \subset \; -->X$$A\subset X$  выполнено одно из следующих эквивалентных условий:

• Множество $A$$A$  замкнуто в $X$$X$  тогда и только тогда, когда всякое его пересечение $A\cap <!--\; \cap \; -->K$$A\cap K$  с каждым компактным множеством $K\subset <!--\; \subset \; -->X$$K\subset X$  замкнуто в этом множестве $K$$K$ .
• Множество $A$$A$  открыто в $X$$X$  тогда и только тогда, когда всякое его пересечение $A\cap <!--\; \cap \; -->K$$A\cap K$  с каждым компактным множеством $K\subset <!--\; \subset \; -->X$$K\subset X$  открыто в этом множестве $K$$K$ .

Часто под k-пространством понимают только хаусдорфовы пространства, удовлетворяющие вышеуказанному определению.

Для хаусдорфовых пространств можно дать следующее эквивалентное определение k-пространства: хаусдорфово пространство $X$$X$  является k-пространством, в том и только в том случае, если оно есть образ некоторого локально компактного хаусдорфова пространства при факторном отображении (то есть оно гомеоморфно некоторому факторпространству локально компактного хаусдорфова пространства).

Отображения в k-пространствахПравить

Отображение $f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$f\colon X\to Y$  k-пространства $X$$X$  в произвольное топологическое пространство $Y$$Y$  непрерывно в том и только в том случае, если всякое сужение этого отображения $f{|}_K$$f|_{K}$  на компактное множество $K$$K$  непрерывно.

Непрерывное отображение $f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$f\colon X\to Y$  произвольного топологического пространство $X$$X$  в k-пространство $Y$$Y$  замкнуто (открыто, факторно) в том и только в том случае, если для каждого компактного подмножества $K$$K$  из области значений $Y$$Y$  сужение этого отображения $f_K:<!--\; :\; -->f^{-<!--\; -\; -->1}(K)\to <!--\; \to \; -->K$$f_{K}\colon f^{{-1}}(K)\to K$  замкнуто (соответственно открыто, факторно).

Если даны два факторных отображения $f_1:<!--\; :\; -->X_1\to <!--\; \to \; -->Y_1$$f_{1}\colon X_{1}\to Y_{1}$  и $f_2:<!--\; :\; -->X_2\to <!--\; \to \; -->Y_2$$f_{2}\colon X_{2}\to Y_{2}$ , у которых области определения $X_1$$X_{1}$  и $X_2$$X_{2}$  и произведение областей значений $Y_1\times <!--\; \times \; -->Y_2$$Y_{1}\times Y_{2}$  являются k-пространствами, то декартово произведение этих отображений $f_1\times <!--\; \times \; -->f_2:<!--\; :\; -->X_1\times <!--\; \times \; -->X_2\to <!--\; \to \; -->Y_1\times <!--\; \times \; -->Y_2$$f_{1}\times f_{2}\colon X_{1}\times X_{2}\to Y_{1}\times Y_{2}$  является факторным отображением.

Сохранение при операцияхПравить

Каждое открытое, а также каждое замкнутое подпространство хаусдорфова k-пространства является k-пространством. Однако произвольное подпространство хаусдорфова k-пространства может не быть k-пространством.

Сумма семейства топологических пространств является k-пространством тогда и только тогда, когда все пространства из этого семейства являются k-пространствами.

Произведение хаусдорфова k-пространства и локально компактного хаусдорфова пространства является k-пространством. При этом произведение двух k-пространств в общем случае не является k-пространством.

Хаусдорфов образ хаусдорфова k-пространства при факторном (в частности, при открытом или замкнутом) отображении является k-пространством. При этом образ хаусдорфова k-пространства при произвольном непрерывном отображении может не быть k-пространством, даже если он совершенно нормален.

Связь с другими классами пространствПравить

Всякое полное по Чеху пространство (в частности любое локально компактное хаусдорфово пространство, а следовательно и любое топологическое многообразие) является k-пространством.

Каждое секвенциальное пространство (в частности любое пространство с первой аксиомой счётности, а следовательно и любое метрическое пространство) является k-пространством.

Всякое пространство точечно счётного типа является k-пространством.

Каждый CW-комплекс является k-пространством.

ЛитератураПравить

• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.
• Спеньер, Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971. — 680 с.