F₄ (математика)

В математике F₄ — название одной из пяти (компактных или комплексных) особых простых групп Ли, а также её алгебры Ли ${\mathfrak{f}}_4$${\mathfrak {f}}_{4}$. F₄ имеет ранг 4 и размерность 52. Группа F₄ односвязна, а её группа внешних автоморфизмов тривиальна. Простейшее точное линейное представление группы F₄, а также её алгебры Ли, 26-мерно и неприводимо.

Компактная вещественная форма (комплексной) группы F₄ является группой изометрий 16-мерного риманова многообразия, известного как «октонионная проективная плоскость», OP². Это может быть показано с помощью общего приёма, использующего конструкцию, известную как магический квадрат, разработанную Г. Фрейденталем и Ж. Титсом.

Есть 3 вещественные группы Ли с алгеброй ${\mathfrak{f}}_4$${\mathfrak {f}}_{4}$: компактная, разделённая и третья.

Алгебра Ли F₄ может быть получена путём добавления к 36-мерной алгебре Ли $\mathfrak{s}\mathfrak{o}(9)$${\mathfrak {so}}(9)$ 16 генераторов, преобразующихся как спиноры, аналогично тому, как это делается в построении E₈.

АлгебраПравить

Корневые векторы F₄Править

$(\pm <!--\; \pm \; -->1,\pm <!--\; \pm \; -->1,0,0)$$(\pm 1,\pm 1,0,0)$ ,

$(\pm <!--\; \pm \; -->1,0,\pm <!--\; \pm \; -->1,0)$$(\pm 1,0,\pm 1,0)$ ,

$(\pm <!--\; \pm \; -->1,0,0,\pm <!--\; \pm \; -->1)$$(\pm 1,0,0,\pm 1)$ ,

$(0,\pm <!--\; \pm \; -->1,\pm <!--\; \pm \; -->1,0)$$(0,\pm 1,\pm 1,0)$ ,

$(0,\pm <!--\; \pm \; -->1,0,\pm <!--\; \pm \; -->1)$$(0,\pm 1,0,\pm 1)$ ,

$(0,0,\pm <!--\; \pm \; -->1,\pm <!--\; \pm \; -->1)$$(0,0,\pm 1,\pm 1)$ ,

$(\pm <!--\; \pm \; -->1,0,0,0)$$(\pm 1,0,0,0)$ ,

$(0,\pm <!--\; \pm \; -->1,0,0)$$(0,\pm 1,0,0)$ ,

$(0,0,\pm <!--\; \pm \; -->1,0)$$(0,0,\pm 1,0)$ ,

$(0,0,0,\pm <!--\; \pm \; -->1)$$(0,0,0,\pm 1)$ ,

$\left(\pm <!--\; \pm \; -->\frac{1}{2},\pm <!--\; \pm \; -->\frac{1}{2},\pm <!--\; \pm \; -->\frac{1}{2},\pm <!--\; \pm \; -->\frac{1}{2}\right)$$\left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}}\right)$ ,

и простые положительные корневые векторы

$(0,1,-<!--\; -\; -->1,0)$$(0,1,-1,0)$ ,

$(0,0,1,-<!--\; -\; -->1)$$(0,0,1,-1)$ ,

$(0,0,0,1)$$(0,0,0,1)$ ,

$\left(\frac{1}{2},-<!--\; -\; -->\frac{1}{2},-<!--\; -\; -->\frac{1}{2},-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}\right)$$\left({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)$ .

Группа Вейля/КоксетераПравить

Для данной группы это — группа симметрии гипероктаэдра.

Матрица КартанаПравить

${\begin{pmatrix}2&-1&0&0\\-1&2&-2&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{pmatrix}}$ 

Решётка симметрии F₄Править

4-мерная объёмноцентрированная кубическая решётка имеет F₄ как точечную группу симметрии. Это объединение двух гиперкубических решёток, точки каждой из которых лежат в центрах гиперкубов другой, образует кольцо, называемое кольцом кватернионов Гурвица. 24 кватерниона Гурвица с нормой 1 образуют гипероктаэдр.

ИсточникиПравить

• John Baez, The Octonions, Section 4.2: F₄, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145—205. On-line HTML вариант (англ.)  (Дата обращения: 26 декабря 2009)