Empirical Mode Decomposition

EMD (англ. Empirical Mode Decomposition) — метод разложения сигналов на функции, которые получили название «эмпирических мод».

Метод EMD представляет собой итерационную вычислительную процедуру, в результате которой исходные данные (непрерывный или дискретный сигнал) раскладываются на эмпирические моды или внутренние колебания (англ. intrinsic mode functions, IMF). В отличие от гармонического анализа, где модель (дискретного или непрерывного) сигнала задаётся заранее, эмпирические моды вычисляются в ходе процесса, что и подчёркивается в названии метода. Разложение на эмпирические моды позволяет анализировать локальные явления, поэтому данный метод может быть использован при обработке нестационарных временных рядов (или процессов).

Метод EMD является неотъемлемой частью преобразования Гильберта — Хуанга.

ОпределенияПравить

Огибающая сигналаПравить

Огибающая сигнала — это функция, построенная по характерным точкам данного сигнала, например, по экстремумам.

У каждого (дискретного или непрерывного) сигнала имеются локальные экстремумы: локальные максимумы и локальные минимумы. В результате, можно построить две огибающие: нижнюю огибающую, построенную по точкам локального минимума, и верхнюю огибающую, построенную по точкам локального максимума.

В методе EMD в качестве приближающих функций используются кубические сплайны.

Среднее значениеПравить

В методе EMD используется так называемое «среднее значение» — функция, которой отвечает срединная линия, расположенная в точности между огибающими: нижней и верхней.

Эмпирическая модаПравить

Эмпирическая мода, внутреннее колебание или мода (англ. intrinsic mode functions, IMF) — эта такая функция, которая обладает следующими двумя свойствами:

1. Количество экстремумов (и максимумов и минимумов) и количество пересечений нуля не должны отличаться более чем на единицу.
2. Среднее значение, которое определяется по двум огибающим — верхней и нижней, должно быть равно нулю.

Эмпирические моды обладают такими свойствами, которые позволяют применять к ним методы гильбертова спектрального анализа.

ПросеиваниеПравить

Процедура выделения эмпирических мод называется просеиванием (англ. sifting).

Алгоритм методаПравить

Пусть $X(t)$$X(t)$  — анализируемый сигнал.

Суть метода EMD заключается в последовательном вычислении эмпирических мод $c_j$$c_{j}$  и остатков $r_j=r_{j-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->c_j$$r_{j}=r_{j-1}-c_{j}$ , где $j=1,2,3,\dots <!--\; \dots \; -->,n$$j=1,\;2,\;3,\;\ldots ,\;n$  и $r_0=X(t)$$r_{0}=X(t)$ .

В результате, получается разложение сигнала вида

$X(t)=\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_j+r_n,$$X(t)=\sum _{j=1}^{n}c_{j}+r_{n},$ 

где $n$$n$  — количество эмпирических мод, которое устанавливается в ходе вычислений.

Схема алгоритмаПравить

В общем виде, алгоритм метода выглядит следующим образом.

Находятся экстремумы сигнала. Их следует искать между каждыми двумя последовательными переменами знака.

Строятся две огибающие сигнала: нижняя $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$  и верхняя $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$ . При этом можно использовать сплайн (например, кубический).

Вычисляются среднее значение $m_1$$m_1$  и разность $h_1$$h_1$  между сигналом и его средним значением:

$X(t)-<!--\; -\; -->m_1=h_1$$X(t)-m_{1}=h_{1}$ .

Если полученная разность удовлетворяет определению эмпирической моды, то процесс останавливается. В этом случае полученная разность и будет эмпирической модой.

В противном случае, необходимо повторить предыдущие операции уже для полученной разности $h_1$$h_1$  (поиск экстремумов, построение огибающих, вычисление среднего и его вычитание):

$h_1-<!--\; -\; -->m_{11}=h_{11}$$h_{1}-m_{11}=h_{11}$ .

В результате выполнения последовательности итераций вида

$h_{1(k-<!--\; -\; -->1)}-<!--\; -\; -->m_{1k}=h_{1k}$$h_{1(k-1)}-m_{1k}=h_{1k}$ 

необходимо получить функцию

$c_1=h_{1k},$$c_{1}=h_{1k},$ 

которая удовлетворяет определению эмпирической моды. Как только эмпирическая мода, обозначаемая $c_1$$c_{1}$ , выделена, итерации прекращаются.

Вычисляется остаток $r_1=x-<!--\; -\; -->c_1$$r_{1}=x-c_{1}$ , и весь алгоритм повторяется снова, но уже для функции $r_1$$r_{1}$ .

Получение остатков происходит до тех пор, пока вновь вычисленный остаток не окажется монотонной функцией, из которой уже нельзя будет выделить эмпирическую моду.

Условия остановкиПравить

При просеивании последовательно вычисляются функции $h_k$$h_{k}$ , поэтому необходимо иметь критерий останова итерационного процесса. Для этого обычно используется одно из двух условий.

Первое условие было предложено самим Хуангом и по форме напоминает критерий Коши (сходимости последовательности), а именно: определим для каждого целого числа $k$$k$  величину

${SD}_k=\underset{t=0}{\overset{T}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{|h_{k-<!--\; -\; -->1}(t)-<!--\; -\; -->h_k(t){|}^2}{h_{k-<!--\; -\; -->1}^2(t)}.$${SD}_{k}=\sum \limits _{t=0}^{T}{\frac {|h_{k-1}(t)-h_{k}(t)|^{2}}{h_{k-1}^{2}(t)}}.$ 

Итерации прекращаются как только число ${SD}_k$${SD}_{k}$  станет меньше, чем некоторая заданная заранее величина.

Второе условие основано на соотношении количества пересечения нуля $Z_k$$Z_{k}$  и количества экстремумов $E_k$$E_k$ : процесс просеивания обрывается, если $Z_k=E_k$$Z_{k}=E_{k}$  или $|Z_k-<!--\; -\; -->E_k|=1$$|Z_{k}-E_{k}|=1$  имеет место на протяжении $S$$S$  итераций. Число $S$$S$  выбирается заранее.

См. такжеПравить

• Преобразование Гильберта — Хуанга
• Программирование EMD на C++: Класс HHT

ЛитератураПравить

• Huang, et al. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis. // Proc. R. Soc. Lond. A. — 1998. — Т. 454. — С. 903—995. Архивировано 6 сентября 2006 года.