Знак плюс-минус

Запрос «Плюс-минус» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

∓

±

Знак плюс-минус (±) — математический символ, который ставится перед некоторым выражением и означает, что значение этого выражения может быть как положительным, так и отрицательным. Часто используется, например, для указания:

• пределов изменения каких-либо параметров;
• инструментальной точности измерения физической величины;
• ожидаемого разброса значений статистически измеренного параметра;
• интервала значений результата в приближённых математических вычислениях.

ПримерыПравить

Пример 1: фраза «напряжение в сети должно быть 220 ± 4,5 вольт» означает, что напряжение должно быть в диапазоне от 215,5 до 224,5 вольт.

Пример 2, где символ «плюс-минус» надо понимать буквально, как указание альтернативы из двух вариантов — известная формула для вычисления двух корней квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$$ax^{2}+bx+c=0$ :

$x=\frac{-<!--\; -\; -->b\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{b^2-<!--\; -\; -->4ac}}{2a}.$$\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$ 

Эта формула — компактная запись, объединяющая формулы для первого и второго корня:

$x_1=\frac{-<!--\; -\; -->b+\sqrt{b^2-<!--\; -\; -->4ac}}{2a};x_2=\frac{-<!--\; -\; -->b-<!--\; -\; -->\sqrt{b^2-<!--\; -\; -->4ac}}{2a}$$\displaystyle x_1 = \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}; \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$ 

Пример 3, аналогичный второму, тригонометрический:

$\sin <!--\; \; -->(x\pm <!--\; \pm \; -->y)=\sin <!--\; \; -->(x)\cos <!--\; \; -->(y)\pm <!--\; \pm \; -->\cos <!--\; \; -->(x)\sin <!--\; \; -->(y)$$\sin(x \pm y) = \sin(x) \cos(y) \pm \cos(x) \sin(y)$ 

Пример 4. Здесь истолкование символа плюс-минус иное: надо выбрать знак одночлена в зависимости от его номера в ряду:

$\sin <!--\; \; -->\left(x\right)=x-<!--\; -\; -->\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-<!--\; -\; -->\frac{x^7}{7!}+\cdots <!--\; \cdots \; -->\pm <!--\; \pm \; -->\frac{1}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}+\cdots <!--\; \cdots \; -->$$\sin\left( x \right) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \pm \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1} + \cdots$ 

ИсторияПравить

Знак плюс-минус появился у Альбера Жирара (1626), который записывал этот символ следующим образом: $\underset{\mathbf{-<!--\; -\; -->}}{\stackrel{\mathbf{+}}{\mathbf{o}\mathbf{u}}}$${\boldsymbol {{\underset {-}{\overset {+}{\operatorname {\scriptscriptstyle ou} }}}\ \ }}$  (французское слово ou в переводе означает «или»). Современный вид символу придал Уильям Отред в 1631 году.

Знак минус-плюсПравить

У знака плюс-минус есть вариант: знак $\mp <!--\; \mp \; -->$$\mp$  (минус-плюс). Он используется совместно с одним или несколькими знаками плюс-минус и означает, что знаку плюс в плюс-минусе строго соответствует знак минус в минус-плюсе, и обратно. Пример:

$\cos <!--\; \; -->(x\pm <!--\; \pm \; -->y)=\cos <!--\; \; -->x\cos <!--\; \; -->y\mp <!--\; \mp \; -->\sin <!--\; \; -->x\sin <!--\; \; -->y$$\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y$ 

Это компактная запись двух формул:

$\cos <!--\; \; -->(x+y)=\cos <!--\; \; -->x\cos <!--\; \; -->y-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->x\sin <!--\; \; -->y;\cos <!--\; \; -->(x-<!--\; -\; -->y)=\cos <!--\; \; -->x\cos <!--\; \; -->y+\sin <!--\; \; -->x\sin <!--\; \; -->y$$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y;~\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$ 

Иногда подобным образом используют другие знаки, например более-менее $\gtrless <!--\; \gtrless \; -->$$\gtrless$ : выражение

$a\gtrless <!--\; \gtrless \; -->e^{\mp <!--\; \mp \; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}$$a\gtrless e^{\mp \varepsilon }$ 

означает два неравенства

$a⩾<!--\; ⩾\; -->e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}$$a\geqslant e^{-\varepsilon }$  и $a⩽<!--\; ⩽\; -->e^{+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}.$$a\leqslant e^{+\varepsilon }.$ 

Другие случаи употребленияПравить

В шахматной нотации символ ± означает, что после соответствующего хода преимущество имеют белые, а символ ∓ — что преимущество у чёрных.

КодировкаПравить

Символ	Код в Юникоде	Название в Юникоде	Название	HTML шестн.	HTML десят.	HTML обозн.
$\pm <!--\; \pm \; -->$$\pm$	U+00B1	Plus-minus sign	Символ плюс-минус	&#x00B1;	&#177;	&plusmn;
$\mp <!--\; \mp \; -->$$\mp$	U+2213	Minus-or-Plus sign	Символ минус-плюс	&#x2213;	&#8723;

• В ISO 8859-1 символ плюс-минус имеет код 0xB1.
• В TeX знаки плюс-минус и минус-плюс кодируются как \pm и \mp соответственно.
• В системе Microsoft Windows для ввода символа плюс-минус можно, прижав клавишу Alt, ввести на цифровой клавиатуре число 0177.
• В системах Linux/Unix сформировать символ плюс-минус можно последовательностью compose +- или одновременным нажатием клавиш ⇧ ShiftAltGr9.
• На компьютерах Макинтош плюс-минус кодируется вводом символов ⌥ Option ⇧ Shift = .

См. такжеПравить

• История математических обозначений
• Минус
• Плюс
• Таблица математических символов

ЛитератураПравить

• Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (1929 reprint). — NY: Cosimo, Inc., 2007. — xvi + 456 p. — ISBN 978-1-60206-684-7.
• Mazur J. Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. — Princeton: Princeton University Press, 2014. — 312 p. — ISBN 978-0-69115-463-3.