Якобиан

О якобиане алгебраической кривой см. Многообразие Якоби^[en]

Якобиа́н (определитель Яко́би, функциональный определитель) — определённое обобщение производной функции одной переменной на случай отображений из евклидова пространства в себя.

Якобиан выражается как определитель матрицы Якоби — матрицы, составленной из частных производных отображения.

Якобиан отображения $f$$f$ в точке $x$$x$ обычно обозначается $\underset{x}{\mathrm{J}\mathrm{a}\mathrm{c}}<!--\; \; -->f$$\mathop {\rm {Jac}} _{x}f$, иногда также следующим образом:

$\frac{D(f_1,\dots <!--\; \dots \; -->,f_n)}{D(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)}$${\frac {D(f_{1},\dots ,f_{n})}{D(x_{1},\dots ,x_{n})}}$ ,или $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}(f_1,\dots <!--\; \dots \; -->,f_n)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)}$${\frac {\partial (f_{1},\dots ,f_{n})}{\partial (x_{1},\dots ,x_{n})}}$

Также якобианом иногда (по-русски такое употребление термина не вполне принято) называют саму матрицу Якоби, а не её определитель. По-английски и в некоторых других языках термин якобиан считается равно приложимым к матрице Якоби и её определителю.

Введён Якоби (1833, 1841).

ОпределениеПравить

Якобиан векторной функции $\mathbf{u}:{\mathbb{R}}^n\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^n,\mathbf{u}=(u_1,\dots <!--\; \dots \; -->,u_n),u_i=u_i(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n),i=1,\dots <!--\; \dots \; -->,n$$\mathbf {u} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},\mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{n}),u_{i}=u_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),i=1,\ldots ,n$ , имеющей в некоторой точке $x$$x$  все частные производные первого порядка, определяется как

$\det {\begin{pmatrix}{\partial u_{1} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{1} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{1} \over \partial x_{n}}(x)\\{\partial u_{2} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{2} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{2} \over \partial x_{n}}(x)\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\partial u_{n} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{n} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{n} \over \partial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}.$ 

Также можно говорить об определителе Якоби или якобиане системы функций $u_1,\dots <!--\; \dots \; -->,u_n$$u_{1},\ldots ,u_{n}$ .

Геометрическая интерпретацияПравить

Если функции ${\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}}_1(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n),\dots <!--\; \dots \; -->,{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}}_n(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$${\tilde x}_{1}(x_{1},\dots ,x_{n}),\ldots ,{\tilde x}_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})$  определяют преобразование координат $x_i\to <!--\; \to \; -->{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}}_j$$x_{i}\rightarrow {\tilde x}_{j}$ , то смысл определителя Якоби состоит в отношении объёмов параллелепипедов, «натянутых» на $d{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}}_1,d{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,d{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}}_n$$d{\tilde x}_{1},d{\tilde x}_{2},\dots ,d{\tilde x}_{n}$  и на $d{x}_1,d{x}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,d{x}_n$$dx_{1},dx_{2},\dots ,dx_{n}$  при равенстве произведений $d{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}}_{1}d{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}}_2\dots <!--\; \dots \; -->d{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}}_n=d{x}_{1}d{x}_2\dots <!--\; \dots \; -->d{x}_n$$d{\tilde x}_{1}d{\tilde x}_{2}\dots d{\tilde x}_{n}=dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}$ .

ПрименениеПравить

• Якобиан часто применяется при анализе неявных функций.
• Неравенство определителя Якоби нулю служит удобным необходимым и достаточным условием локальной невырожденности преобразования координат, то есть означает, что в окрестности рассматриваемой точки это преобразование является диффеоморфизмом.
• Интеграл по области при невырожденном преобразовании координат ${\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}}_j\to <!--\; \to \; -->x_i$${\tilde x}_{j}\rightarrow x_{i}$  преобразуется как

  $\underset{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}}{\int <!--\; \int \; -->}f({\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}}_1,{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}}_n)d{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}}_{1}d{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}}_2\dots <!--\; \dots \; -->d{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}}_n=$$\int \limits _{{{\tilde \Omega }}}f({\tilde x}_{1},{\tilde x}_{2},\dots ,{\tilde x}_{n})d{\tilde x}_{1}d{\tilde x}_{2}\dots d{\tilde x}_{n}=$ 

  $=\underset{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}f({\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}}_1(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n),{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}}_2(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n),\dots <!--\; \dots \; -->,{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}}_n(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n))|\frac{D({\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}}_1,{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}}_n)}{D(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)}|d{x}_{1}d{x}_2\dots <!--\; \dots \; -->d{x}_n$$=\int \limits _{{\Omega }}f({\tilde x}_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),{\tilde x}_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),\dots ,{\tilde x}_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})){\bigg |}{\frac {D({\tilde x}_{1},{\tilde x}_{2},\dots ,{\tilde x}_{n})}{D(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}}{\bigg |}dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}$ 

  (формула замены переменных в n-мерном интеграле).

ПримерыПравить

Пример 1. Переход элементарной площади $\mathrm{d}S=\mathrm{d}x\mathrm{d}y$${\mathrm {d}}S={\mathrm {d}}x\,{\mathrm {d}}y$  от декартовых координат (x, y) к полярным координатам (r, φ):

$x=r\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$x=r\,\cos \varphi$ 

$y=r\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}.$$y=r\,\sin \varphi .$ 

Матрица Якоби имеет следующий вид

${\hat {I}}(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\,\sin \varphi \\\sin \varphi &r\,\cos \varphi \end{bmatrix}}.$ 

А якобиан перехода от декартовых координат к полярным — есть определитель матрицы Якоби:

$J(r,\varphi )=\det {\hat {I}}(r,\varphi )=\det {\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\,\sin \varphi \\\sin \varphi &r\,\cos \varphi \end{bmatrix}}=r.$ 

Таким образом, элемент площади при переходе от декартовых к полярным координатам будет выглядеть следующим образом:

$\mathrm{d}S=\mathrm{d}x\mathrm{d}y=J(r,\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})\mathrm{d}r\mathrm{d}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\mathrm {d} S=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=J(r,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi =r\,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi$ 

Пример 2. Переход элементарного объёма $\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$${\mathrm {d}}V={\mathrm {d}}x\,{\mathrm {d}}y\,{\mathrm {d}}z$  от декартовых координат (x, y, z) к сферическим координатам (r, θ, φ) :

$x=r\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$x=r\,\sin \theta \,\cos \varphi$ 

$y=r\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$y=r\,\sin \theta \,\sin \varphi$ 

$z=r\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}.$$z=r\,\cos \theta .$ 

Матрица Якоби имеет следующий вид

${\hat {I}}(r,\theta ,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial z}{\partial r}}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi &r\,\cos \theta \,\cos \varphi &-r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi &r\,\cos \theta \,\sin \varphi &r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}.$ 

А якобиан перехода от декартовых координат к сферическим — есть определитель матрицы Якоби:

$J(r,\theta ,\varphi )=\det {\hat {I}}(r,\theta ,\varphi )=\det {\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi &r\,\cos \theta \,\cos \varphi &-r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi &r\,\cos \theta \,\sin \varphi &r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}=r^{2}\sin \theta .$ 

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

$\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=J(r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})\mathrm{d}r\mathrm{d}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\mathrm{d}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=r^2\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\mathrm{d}r\mathrm{d}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\mathrm{d}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=J(r,\theta ,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi$ 

СвойстваПравить

• Абсолютное значение Якобиана в некоторой точке $x$$x$  равно коэффициенту искажения объёмов в этой точке (то есть пределу отношения объёма образа окрестности точки $x$$x$  к объёму самой окрестности, когда размеры окрестности стремятся к нулю).
• Якобиан в точке $x$$x$  положителен, если отображение не меняет ориентации в окрестности точки М, и отрицателен в противоположном случае.
• Если Якобиан отображения не обращается в нуль в области $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$ , то отображение $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$  является локальным диффеоморфизмом.

См. такжеПравить

Применение в физике

• Соотношения Бриджмена (термодинамика) и Соотношения Максвелла (термодинамика) выводятся с применением техники якобианов