Ядро (алгебра)

Ядро в алгебре — характеристика отображения $f:A\to <!--\; \to \; -->B$$\ f:A\rightarrow B$, обозначаемая $\ker f$$\ker \,f$, отражающая отличие $f$$f$ от инъективного отображения, обычно — множество прообразов некоторого фиксированного (нулевого, единичного, нейтрального) элемента $e$$e$. Конкретное определение может различаться, однако для инъективного отображения $f$$f$ множество $\ker f$$\ker \,f$ всегда должно быть тривиально, то есть состоять из одного элемента (как правило, нейтрального элемента из $A$$A$).

Если множества $A$$A$ и $B$$B$ обладают некоторой структурой (например, являются группами или векторными пространствами), то $\ker f$$\ker \,f$ также должно обладать этой структурой, при этом различные формулировки основной теоремы о гомоморфизме связывают образ $\mathrm{I}\mathrm{m}f$${\mathrm {Im}}\,f$ и фактормножество $A/\ker f$$A/\ker \,f$.

Ядро линейного отображенияПравить

Ядром линейного отображения $f:V\to <!--\; \to \; -->U$$f:\,V\to U$  называется прообраз нулевого элемента пространства $U$$U$ :

$\ker <!--\; \; -->f=\{x\in <!--\; \in \; -->V:f(x)=0\}.$$\ker f=\{x\in V:f(x)=0\}.$ 

$\ker <!--\; \; -->f$$\ker f$  является подпространством в $V$$V$ . Оно всегда содержит нулевой элемент пространства $V$$V$ . Согласно основной теореме о гомоморфизме, образ $f$$f$  изоморфен факторпространству $V$$V$  по ядру $f$$f$ :

$\mathrm{I}\mathrm{m}f\simeq <!--\; \simeq \; -->V/\ker <!--\; \; -->f.$$\mathrm {Im} \,f\simeq V/\ker f.$ 

Соответственно, размерность образа пространства равна разности размерностей пространства и ядра отображения, если размерность $V$$V$  конечна:

$\dim <!--\; \; -->\mathrm{I}\mathrm{m}f=\dim <!--\; \; -->V-<!--\; -\; -->\dim <!--\; \; -->\ker <!--\; \; -->f,$$\dim \mathrm {Im} \,f=\dim V-\dim \ker f,$ 

а прообраз любого вектора определён с точностью до прибавления вектора из ядра:

$f^{-<!--\; -\; -->1}(u)=v_0+\ker <!--\; \; -->f,f(v_0)=u,v_0\in <!--\; \in \; -->V,u\in <!--\; \in \; -->U.$$f^{{-1}}(u)=v_{0}+\ker f,~~~f(v_{0})=u,~~~v_{0}\in V,~u\in U.$ 

Всякий базис ядра называется фундаментальной системой решений.

Теория матрицПравить

Любую прямоугольную матрицу $G$$G$  размера $m\times <!--\; \times \; -->n$$m\times n$ , содержащую элементы поля $K$$K$  (в частности, вещественные числа), можно рассматривать как линейный оператор $g:{\mathbb{K}}^n\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{K}}^m$$g:{\mathbb {K}}^{n}\rightarrow {\mathbb {K}}^{m}$  умножения векторов слева на матрицу:

$g(v)=Gv,v\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{K}}^n$$g(v)=Gv,~~~v\in {\mathbb {K}}^{n}$ 

Таким образом, результаты теории конечномерных линейных пространств целиком переносятся на работу с матрицами. В частности, систему линейных уравнений с $n$$n$  неизвестными

$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+\dots <!--\; \dots \; -->+a_{1n}{x}_n=b_1;\\ \dots <!--\; \dots \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\\ a_{m1}{x}_1+\dots <!--\; \dots \; -->+a_{mn}{x}_n=b_m.\end{array}$$\left\{{\begin{matrix}a_{{11}}x_{1}+\ldots +a_{{1n}}x_{n}=b_{1};\\\ldots ~~\ldots ~~\ldots ~~\\a_{{m1}}x_{1}+\ldots +a_{{mn}}x_{n}=b_{m}.\end{matrix}}\right.$ 

можно рассматривать как задачу поиска прообраза вектора $\mathbf{b}=(b_1,\dots <!--\; \dots \; -->,b_m)$${\mathbf {b}}=(b_{1},\;\ldots ,\;b_{m})$ , а задача о решении однородной системы уравнений ($\mathbf{b}=\mathbf{0}$${\mathbf {b}}={\mathbf {0}}$ ) сводится к поиску ядра отображения $g$$g$ .

ПримерПравить

Пусть $f$$f$  будет линейным отображением $f:{\mathbb{R}}^3\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^3$$f:{\mathbb R}^{3}\to {\mathbb R}^{3}$  и:

$f({\vec {x}})={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\0\end{pmatrix}}.$ 

Тогда его ядро является векторным подпространством:

$\ker <!--\; \; -->f=\left\{\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\end{array}\right)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^3\mid <!--\; \mid \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}\right\}.$$\ker f=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\\lambda \end{pmatrix}}\in {\mathbb R}^{3}\mid \lambda \in {\mathbb R}\right\}.$ 

Гомоморфизм группПравить

Если $f$$f$  — гомоморфизм между группами, то $\ker <!--\; \; -->f$$\ker f$  образует нормальную подгруппу $A$$A$ .

Гомоморфизм колецПравить

Если $f$$f$  — гомоморфизм между кольцами, то $\ker <!--\; \; -->f$$\ker f$  образует идеал кольца $A$$A$ .

См. такжеПравить

• Коядро

ЛитератураПравить

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — Москва: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.