Ядро интегрального оператора

Ядром интегрального оператора (ядро Фредгольма) называется функция двух аргументов $K(x,y)$$K(x,\;y)$, определяющая некий интегральный оператор $\mathcal{A}$$\mathcal{A}$ равенством

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(y)=\mathcal{A}[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)]=\int <!--\; \int \; -->K(x,y)\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(x),$$\varphi (y)={\mathcal {A}}[\varphi (x)]=\int K(x,\;y)\varphi (x)\,d\mu (x),$

где $x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{X}$$x\in \mathbb {X}$ — пространство с мерой $d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(x)$$d\mu (x)$, а $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)$$\varphi (x)$ принадлежит некоторому пространству функций, определённых на $\mathbb{X}$$\mathbb{X}$.

ПримерыПравить

• Ядро $K(x,y)$$K(x,\;y)$  называется $L_2$$L_{2}$ -ядром, если оно удовлетворяет условию:

$\int \limits _{D}\int \limits _{D}|K(x,\;y)|^{2}\,dx\,dy<+\infty ,$ 

где $K(x,y)$$K(x,\;y)$  — измеримая на $D$$D$  функция.

Такие ядра являются основным предметом рассмотрения теории интегральных уравнений.

• Ядро, удовлетворяющее условию:

$K(x,y)\equiv <!--\; \equiv \; -->0$$K(x,\;y)\equiv 0$  при $y>x$$y>x$ 

называется ядром Вольтерры.

• Симметричное ядро — ядро, для которого выполняется тождество $K(x,y)=K(y,x)$$K(x,\;y)=K(y,\;x)$ .
• Если выполняется тождество $K(x,y)=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{K(y,x)}$$K(x,\;y)={\overline {K(y,\;x)}}$ , где $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{K(y,x)}$${\overline {K(y,\;x)}}$  — комплексно сопряжённое к $K(x,y)$$K(x,\;y)$ , то такое ядро называется эрмитовым.
• Если ядро $K(x,y)$$K(x,\;y)$  допускает разложение вида:

$K(x,y)=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{X}_k(x)Y_k(y),$$K(x,\;y)=\sum _{k=1}^{n}X_{k}(x)Y_{k}(y),$ 

где $\{X_i(x)\},\{Y_i(y)\}$$\{X_{i}(x)\},\;\{Y_{i}(y)\}$  $(i=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n)$$(i=1,\;2,\;\ldots ,\;n)$  — две системы линейно независимых интегрируемых с квадратом функций ($L_2$$L_{2}$ -функций), такое ядро называется ядром Пинкерле — Гурса, или PG-ядром.

Связанные определенияПравить

• Спектром ядра называется множество его собственных значений.

Теорема МерсераПравить

Теорема Мерсера^[en] о разложении ядра гласит:

Если симметричное $L_2$$L_{2}$ -ядро $K(x,y)$$K(x,\;y)$  непрерывно и обладает лишь положительными собственными значениями (или самое большее конечным числом отрицательных собственных значений) ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_k$$\lambda_k$ , то справедливо представление: $K(x,y)=\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k(x){\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k(y)}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_k},$$K(x,\;y)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\varphi _{k}(x)\varphi _{k}(y)}{\lambda _{k}}},$  где $\{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k(x)\}$$\{\varphi _{k}(x)\}$  — ортогональная система $L_2$$L_{2}$ -функций. При этом ряд сходится абсолютно и равномерно.

ЛитератураПравить

• Трикоми Ф. Интегральные уравнения. — М.: Издательство иностранной литературы, 1960. — 300 с.
• Полянин А. Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 608 с. — ISBN 5-9221-0288-5..
• Полянин А. Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям: Точные решения. — М.: Факториал, 1998. — 432 с. — ISBN 5-88688-024-0..