Эксцентриситет

Запрос «Директриса (геометрия)» перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Эксцентрисите́т — числовая характеристика конического сечения, показывающая степень его отклонения от окружности. Обычно обозначается $e$$e$ или $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$.

Эллипс (e=½), парабола (e=1) и гипербола (e=2) с фиксированными фокусом $F$$F$ и директрисой: $FM=e\cdot <!--\; \cdot \; -->M{M}^{\prime }$$FM=e\cdot MM'$

Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия.

ОпределениеПравить

Все невырожденные конические сечения, кроме окружности, можно описать следующим способом: выберем на плоскости точку $F$$F$  и прямую $d$$d$  и зададим вещественное число $e>0$$e>0$ ; тогда геометрическое место точек $M$$M$ , для которых отношение расстояний до точки $F$$F$  и до прямой $d$$d$  равно $e$$e$ , является коническим сечением; то есть, если $M^{\prime }$$M'$  есть проекция $M$$M$  на $d$$d$ , то

$FM=e\cdot <!--\; \cdot \; -->M{M}^{\prime }$$FM=e\cdot MM'$ .

Это число $e$$e$  называется эксцентриситетом конического сечения. Эксцентриситет окружности по определению равен 0.

Связанные определенияПравить

• Точка $F$$F$  называется фокусом конического сечения.

• Прямая $d$$d$  называется директрисой.

Коническое сечение в полярных координатахПравить

Коническое сечение, один из фокусов которого находится в полюсе, задаётся в полярных координатах уравнением:

$r=\frac{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}{1-<!--\; -\; -->e\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$$r={\frac {\ell }{1-e\cos \varphi }}$ ,

где $e$$e$  — эксцентриситет, а $\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}$$\ell$  — другой постоянный параметр (так называемый фокальный параметр).

Легко показать, что это уравнение эквивалентно определению, данному выше. В сущности, оно может быть использовано в качестве альтернативного определения эксцентриситета, быть может, менее фундаментального, но удобного с аналитической и прикладной точек зрения; в частности, из него хорошо видна роль эксцентриситета в классификации конических сечений и определённым образом дополнительно проясняется его геометрический смысл.

СвойстваПравить

 

Эллипсы и гиперболы всех возможных эксцентриситетов (e) от нуля до бесконечности, составляющие одну поверхность третьего порядка (являясь её горизонтальными сечениями). Её верхняя часть («гиперболическая») «связана» с нижней частью («эллиптической») параболой с уравнением $z=1-<!--\; -\; -->x^2$$z=1-x^{2}$ , получающейся при сечении плоскостью y=0

• В зависимости от эксцентриситета, получится:
  • при $e>1$$e>1$  — гипербола. Чем больше эксцентриситет гиперболы, тем больше две её ветви похожи на параллельные прямые линии;
  • при $e=1$$e=1$  — парабола;
  • при $0\leq e<1$  — эллипс;
  • для окружности полагают $e=0$$e=0$ .

• Эксцентриситет эллипса и гиперболы равен отношению расстояния от фокуса до центра к большой полуоси. Это свойство иногда принимают за определение эксцентриситета. В прежние времена (например, в 1787 году) на большую полуось не делили — эксцентриситетом эллипса называли расстояние от фокуса до центра.
• Эксцентриситет эллипса может быть также выражен через отношение малой ($b$$b$ ) и большой ($a$$a$ ) полуосей:

$e=\sqrt{1-<!--\; -\; -->\frac{b^2}{a^2}}$$e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$ .

• Эксцентриситет гиперболы может быть выражен через отношение мнимой ($b$$b$ ) и действительной ($a$$a$ ) полуосей:

$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$$e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$ .

• Эксцентриситет равносторонней гиперболы, являющейся графиком обратной пропорциональности и задаваемой уравнением $f(x)=\frac{k}{x},x\ne <!--\; \ne \; -->0,k\ne <!--\; \ne \; -->0$$f(x)={k \over x},x\neq 0,k\neq 0$ , равен $\sqrt{2}$${\sqrt {2}}$ .

• Для эллипса также может быть выражен через отношение радиусов пери- ($r_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}}$$r_{\mathrm {per} }$ ) и апоцентров ($r_{\mathrm{a}\mathrm{p}}$$r_{\mathrm {ap} }$ ):

$e=\frac{r_{\mathrm{a}\mathrm{p}}-<!--\; -\; -->r_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}}}{r_{\mathrm{a}\mathrm{p}}+r_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}}}=1-<!--\; -\; -->\frac{2}{\frac{r_{\mathrm{a}\mathrm{p}}}{r_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}}}+1}$$e={\frac {r_{\mathrm {ap} }-r_{\mathrm {per} }}{r_{\mathrm {ap} }+r_{\mathrm {per} }}}=1-{\frac {2}{{\frac {r_{\mathrm {ap} }}{r_{\mathrm {per} }}}+1}}$ .

См. такжеПравить

• Эксцентриситет орбиты
• Коническая константа

ЛитератураПравить

• Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.