Экранированное уравнение Пуассона

В математике экранированное уравнение Пуассона — это дифференциальное уравнение в частных производных вида:

$\left[{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2\right]u(\mathbf{r})=-<!--\; -\; -->f(\mathbf{r}),$$\left[\nabla ^{2}-\lambda ^{2}\right]u(\mathbf {r} )=-f(\mathbf {r} ),$

где ${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2$${\nabla }^{2}$ — оператор Лапласа, $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ — константа, $f$$f$ — произвольная функция позиции (известна как «функция источника»), а $u$$u$ — искомая функция. Экранированное уравнение Пуассона часто используется в физике, включая теорию Юкавы о мезонном экранировании и экранировании электрического поля в плазме.

Когда $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ равна нулю, уравнение превращается в уравнение Пуассона. Следовательно, когда $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ очень мала, решение приближается к решению неэкранированного уравнения Пуассона, которое является суперпозицией $1/r$$1/r$ функций, статистически взвешенной функцией источника $f$$f$:

$u(\mathbf{r}{)}_{(Poisson)}=\int <!--\; \int \; -->d^3{r}^{\prime }\frac{f({\mathbf{r}}^{\prime })}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}|\mathbf{r}-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}^{\prime }|}.$$u(\mathbf {r} )_{(Poisson)}=\int d^{3}r'{\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.$

С другой стороны, когда $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ очень велика, $u$$u$ приближается к значению $f/{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2$$f/\lambda ^{2}$, которое в свою очередь приближается к нулю, когда $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ уходит на бесконечность. Как мы увидим, решение для средних значений $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ ведёт себя как суперпозиция экранированных (или затухающих) $1/r$$1/r$ функций, причём $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ будет являться силой экранирования.

Экранированное уравнение Пуассона может быть решено для общего $f$$f$ с использованием функции Грина. Функция Грина $G$$G$ определяется как

$\left[{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2\right]G(\mathbf{r})=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^3(\mathbf{r}).$$\left[\nabla ^{2}-\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {r} )=-\delta ^{3}(\mathbf {r} ).$

Допустив, что $u$$u$ и её производные пренебрежимо малы на больших $r$$r$, мы можем выполнить преобразование Фурье в пространственных координатах:

$G(\mathbf{k})=\int <!--\; \int \; -->d^{3}rG(\mathbf{r})e^{i\mathbf{k}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{r}}$$G(\mathbf {k} )=\int d^{3}r\;G(\mathbf {r} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }$

где интеграл берётся по всему пространству. Затем можно показать, что

$\left[k^2+{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2\right]G(\mathbf{k})=1.$$\left[k^{2}+\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {k} )=1.$

Следовательно, функция Грина на $r$$r$ даётся обратным преобразованием Фурье:

$G(\mathbf{r})=\frac{1}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^3}\int <!--\; \int \; -->d^{3}k\frac{e^{-<!--\; -\; -->i\mathbf{k}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{r}}}{k^2+{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2}.$$G(\mathbf {r} )={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\;\int d^{3}\!k\;{\frac {e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}{k^{2}+\lambda ^{2}}}.$

Этот интеграл может быть оценён с использованием сферических координат в $k$$k$-пространстве. Интегрирование по угловым координатам несложно, и интеграл упрощается — теперь интегрировать нужно только по одной радиальной координате $k$$k$:

$G(\mathbf{r})=\frac{1}{2{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{2}r}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}dk\frac{k\sin <!--\; \; -->kr}{k^2+{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2}.$$G(\mathbf {r} )={\frac {1}{2\pi ^{2}r}}\;\int \limits _{0}^{\infty }dk\;{\frac {k\,\sin kr}{k^{2}+\lambda ^{2}}}.$

Этот интеграл может быть оценён путём интегрирования по контуру (теории вычетов). В итоге получаем:

$G(\mathbf{r})=\frac{e^{-<!--\; -\; -->|\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}|r}}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}r}.$$G(\mathbf {r} )={\frac {e^{-|\lambda |r}}{4\pi r}}.$

Итоговое решение всей задачи:

$u(\mathbf{r})=\int <!--\; \int \; -->d^3{r}^{\prime }G(\mathbf{r}-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}^{\prime })f({\mathbf{r}}^{\prime })=\int <!--\; \int \; -->d^3{r}^{\prime }\frac{e^{-<!--\; -\; -->|\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}||\mathbf{r}-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}^{\prime }|}}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}|\mathbf{r}-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}^{\prime }|}f({\mathbf{r}}^{\prime }).$$u(\mathbf {r} )=\int d^{3}r'G(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')f(\mathbf {r} ')=\int d^{3}r'{\frac {e^{-|\lambda ||\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}f(\mathbf {r} ').$

Как было указано выше, это суперпозиция экранированных $1/r$$1/r$ функций, статистически взвешенных функцией источника $f$$f$, причём $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ является коэффициентом экранирования. Экранированная $1/r$$1/r$ функция часто появляется в физике как экранированный кулоновский потенциал, также известен и «потенциал Юкавы».

См. такжеПравить

• Взаимодействие Юкавы