Экранирование в модели Томаса — Ферми

Экранирование в модели Томаса — Ферми - это теоретический подход к расчету влияния экранирования электрического поля носителями заряда в твердом теле. Это особый случай более общего подхода в теории Линдхарда; в частности, экранирование Томаса-Ферми возникает как предельный случай формулы Линдхарда, когда волновой вектор (величина, обратная характерному размеру) намного меньше, чем фермиевский волновой вектор, то есть в длинноволновом пределе.

Волновой вектор Томаса-Ферми (в системе единиц СГС) записывается в виде

$k_0^2=4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{e}^2\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}n}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$k_{0}^{2}=4\pi e^{2}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}$

где μ — химический потенциал (уровень Ферми), n — электронная концентрация и е — это элементарный заряд.

Во многих случаях, включая слаболегированные полупроводники, n∝е^μ/к_BТ, где k_B — это постоянная Больцмана и T — температура. В этом случае

$k_0^2=4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{e}^{2}n/(k_{B}T)$$k_{0}^{2}=4\pi e^{2}n/(k_{B}T)$

то есть 1/к₀ определяется по привычной формуле для дебаевской длины. В противоположном случае, в низкотемпературном пределе Т=0, электроны ведут себя как квантовые частицы (фермионы). Такая аппроксимация применима к металлам при комнатной температуре, и волновой вектор Томаса-Ферми k_TF приведенный в атомных единицах составляет

$k_{TF}^2=4{\left(\frac{3n}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\right)}^{1/3}$$k_{TF}^{2}=4\left({\frac {3n}{\pi }}\right)^{1/3}$.

Тогда при использовании единиц СГС (масса электрона $m_e$$m_e$ и постоянная Планка $\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}$$\hbar$на волновые вектора для экранировки связаны соотношением $k_0^2=k_{TF}^2(m_e/{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2)$$k_{0}^{2}=k_{TF}^{2}(m_{e}/\hbar ^{2})$.

Данное выражение применимо только для трёхмерной задачи в одномерном и двумерном случаях надо использовать теорию Линдхарда.

ВыводПравить

Связь между плотностью электронов и внутренним химическим потенциаломПравить

Внутренний химический потенциал (тесно связан с уровнем Ферми, см. ниже) системы электронов описывает, сколько энергии требуется затратить, чтобы добавить лишний электрон в систему, пренебрегая электрической потенциальной энергией. Очевидно, что по мере увеличения числа электронов в системе (при прочих равных), внутренний химический потенциал возрастает. Это обусловлено тем, что электроны удовлетворяют принципу Паули: уровни с меньшей энергией заполнены, поэтому новые электроны должны занимать все более высокие энергетические состояния. (Впрочем, это верно и в целом, независимо от принципа Паули.)

Эта взаимосвязь описывается функцией $n(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$n(\mu )$ , где n, электронная плотность является функцией μ, внутренний химический потенциал. Точная функциональная форма зависит от системы. Например, для трехмерного газа невзаимодействующих электронов при абсолютном нуле температуры, верно соотношение $n(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})\propto <!--\; \propto \; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{3/2}$$n(\mu )\propto \mu ^{3/2}$ . Доказательство: с учётом спинового вырождения,

$n=2\frac{1}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^3}\frac{4}{3}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{k}_F^3,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2{k}_F^2}{2m},n\propto <!--\; \propto \; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{3/2}.$$n=2{\frac {1}{(2\pi )^{3}}}{\frac {4}{3}}\pi k_{F}^{3}\quad ,\quad \mu ={\frac {\hbar ^{2}k_{F}^{2}}{2m}}\quad ,\quad n\propto \mu ^{3/2}.$ 

(в этом контексте—то есть при абсолютном нуле—внутренний химический потенциал чаще называют энергией Ферми).

В качестве другого примера, для полупроводника n-типа при низких и умеренных концентрациях электронов, $n(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})\propto <!--\; \propto \; -->e^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}/k_{B}T}$$n(\mu )\propto e^{\mu /k_{B}T}$  где k_B — это постоянная Больцмана и T — температура.

Локальная аппроксимацияПравить

Основное предположение в модели Томаса-Ферми заключается в том, что внутренний химический потенциал в каждой точке r зависит только от электронной концентрации в этой точке r. Это не выполняется всегда потому, из-за принципа неопределенности Гейзенберга. Электрон не может существовать в одной точке; каждый расплываться в волновой пакет, который имеет размер ≈ 1/k_F, где k_F — это волновое число Ферми, то есть типичное волновое число для состояний на Ферми-поверхности. Поэтому нельзя определить химический потенциал в одной точке, независимо от электронной плотности в близлежащих точках.

Тем не менее, модель Томаса-Ферми, скорее всего, будет достаточно точной аппроксимацией, если потенциал не сильно изменяется на длинах сравнимых или меньших чем 1/k_F. (Эта длина обычно соответствует нескольким атомным расстояниям в металлах.)

Электроны в равновесии, нелинейное уравнениеПравить

Наконец, в модели Томаса-Ферми предполагается, что электроны находятся в равновесии, что означает, что суммарный химический потенциал одинаков во всех точках. (В электрохимической терминологии, «электрохимический потенциал электронов одинаков на всех точках». В физике полупроводников «уровень Ферми плоский».)

Для этого необходимо, чтобы колебания внутреннего химического потенциала соответствовали равным и противоположным по знаку изменениям в электрической потенциальной энергии. Это утверждение порождает «основное уравнение нелинейной модели Томаса-Ферми»:

${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{\text{induced}}(\mathbf{r})=-<!--\; -\; -->e[n({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0+e\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\mathbf{r}))-<!--\; -\; -->n({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0)]$$\rho ^{\text{induced}}(\mathbf {r} )=-e[n(\mu _{0}+e\phi (\mathbf {r} ))-n(\mu _{0})]$ 

где n(μ)- функция которую обсуждали выше (плотность электронов как функция внутреннего химического потенциала), e — это элементарный заряд, r — позиция, и ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{\text{induced}}(\mathbf{r})$$\rho ^{\text{induced}}(\mathbf {r} )$  это индуцированный заряд в точке r. Электрический потенциал $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$  определяется таким образом, что $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\mathbf{r})=0$$\phi (\mathbf {r} )=0$  в точках, где материал не имеет заряда (число электронов в точности равно числу ионов — условие электронейтральности), и аналогично μ₀ определяется как внутренний химический потенциал в точках, где материал не имеет заряда.

Линеаризация, диэлектрическая функцияПравить

Если химический потенциал не слишком сильно изменяется, то вышеприведенное уравнение линеаризуется:

${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{\text{induced}}(\mathbf{r})\approx <!--\; \approx \; -->-<!--\; -\; -->e^2\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}n}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\mathbf{r})$$\rho ^{\text{induced}}(\mathbf {r} )\approx -e^{2}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}\phi (\mathbf {r} )$ 

где $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}n/\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\partial n/\partial \mu$  оценивается при μ₀ и воспринимается как постоянная величина.

Теперь можно преобразовать это выражение в диэлектрическую функцию зависящую от волнового вектора:

$\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}(\mathbf{q})=1+\frac{k_0^2}{q^2}$$\epsilon (\mathbf {q} )=1+{\frac {k_{0}^{2}}{q^{2}}}$  (СГС-Гаусса)

где

$k_0=\sqrt{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{e}^2\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}n}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$$k_{0}={\sqrt {4\pi e^{2}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}$ 

На больших расстояниях (q→0), диэлектрическая постоянная приближается к бесконечности, отражая тот факт, что заряды всё ближе и ближе к идеальной экранировке, как если бы наблюдать за ними издалека.

Пример: точечный зарядПравить

Если точечный заряд Q находится при r=0 в твердом теле, то какое электрическое поле он создаст если учитывать экранировку?

Кто-то ищет самосогласованное решение системы двух уравнений:

• Формула для экранирования Томаса-Ферми задаёт плотность зарядов в каждой точке r как функция потенциала $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\mathbf{r})$$\phi (\mathbf {r} )$  в этой точке.
• Уравнение Пуассона (выводится из закона Гаусса) связывает вторую производную потенциала с плотностью заряда.

Для нелинейной формулы Томаса-Ферми, решение этих уравнений одновременно может быть сложно, и, как правило, не существует аналитического решения. Однако линеаризованная формула имеет простое решение:

$\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\mathbf{r})=\frac{Q}{r}{e}^{-<!--\; -\; -->k_{0}r}$$\phi (\mathbf {r} )={\frac {Q}{r}}e^{-k_{0}r}$ (СГС-Гаусса)

С k₀=0 (отсутствие экранировки), это выражение становится привычным законом Кулона.

Обратите внимание, что существует эффект диэлектрической проницаемости в дополнение к экранированию что обсуждали выше, например, вследствие поляризации неподвижных электронов ядра. В этом случае, следует заменить Q на Q/ε, где ε-относительная диэлектрическая проницаемость за счет этих вкладов.

Результаты для произвольной температурыПравить

 

Эффективная температура для экранирования в модели Томаса-Ферми. Примерный фит объясняется в статье, и использует степень p=1.8.

$k_0$$k_{0}$  функция температуры и энергии Ферми $E_F$$E_F$ Это накладывает условие на внутренний химический потенциал $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$ , для нахождения которого нужно привлекать обратный интеграл от распределения Ферми-Дирака:

$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}/k_{B}T=\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(3/2)F_{1/2}^{-<!--\; -\; -->1}\left[\frac{2}{3}{\left(\frac{E_F}{T}\right)}^{3/2}\right]$$\mu /k_{B}T=\Gamma (3/2)F_{1/2}^{-1}\left[{2 \over 3}\left({E_{F} \over T}\right)^{3/2}\right]$ .

$k_0$$k_{0}$  можно выразить в терминах эффективной температуры $T_{eff}$$T_{eff}$ : $k_0^2=4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{e}^{2}n/k_B{T}_{eff}$$k_{0}^{2}=4\pi e^{2}n/k_{B}T_{eff}$ , или $k_B{T}_{eff}=n\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}/\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}n$$k_{B}T_{eff}=n\partial \mu /\partial n$ . Общий результат для $T_{eff}$$T_{eff}$ 

$\frac{T_{eff}}{T}=\frac{4}{3\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(1/2)}\frac{(E_F/k_{B}T{)}^{3/2}}{F_{-<!--\; -\; -->1/2}(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}/k_{B}T)}$${T_{eff} \over T}={4 \over 3\Gamma (1/2)}{(E_{F}/k_{B}T)^{3/2} \over F_{-1/2}(\mu /k_{B}T)}$ 

В классическом пределе $k_{B}T\gg <!--\; \gg \; -->E_F$$k_{B}T\gg E_{F}$  мы находим $T_{eff}=T$$T_{eff}=T$ , хотя в пределе вырождения $k_{B}T\ll <!--\; \ll \; -->E_F$$k_{B}T\ll E_{F}$  мы найдем $k_B{T}_{eff}=(2/3)E_F$$k_{B}T_{eff}=(2/3)E_{F}$ . Простое приближение, которое восстанавливает оба предельных случая $k_B{T}_{eff}={\left[(k_{B}T{)}^p+(2E_F/3{)}^p\right]}^{1/p}$$k_{B}T_{eff}=\left[(k_{B}T)^{p}+(2E_{F}/3)^{p}\right]^{1/p}$  для любой степени $p$$p$ . Значение, которое дает хорошее соглашение с точным результатом для всех $k_{B}T/E_F$$k_{B}T/E_{F}$  это $p=1.8$$p=1.8$ , это значение имеет максимальную относительную погрешность < 2,3 %.