Экономика обмена

Экономика обмена — упрощенная формализованная микроэкономическая модель общего равновесия в экономике без производства. Экономика обмена характеризуется множеством потребителей, множествами их допустимых потребительских наборов, их предпочтениями и начальными запасами экономических благ. Экономики с производством благ рассматривается в модели Эрроу-Дебрё.

Описание моделиПравить

Пусть $I=\{1,..,n\}$$I=\{1,..,n\}$  — множество потребителей, $X_i$$X_{i}$  — множества допустимых потребительских наборов $x_i$$x_{i}$ , где $i\in <!--\; \in \; -->I$$i\in I$ . Потребительские наборы представляют собой $k$$k$ -мерные векторы, где $k$$k$  — количество благ в экономике. Обычно предполагается, что $X_i\subset <!--\; \subset \; -->R_{+}^k$$X_{i}\subset R_{+}^{k}$ .

В экономике обмена у потребителей имеются некоторые начальные запасы $x_i^0$$x_{i}^{0}$ . В результате обмена между потребителями их потребительские наборы меняются. Экономика предполагается замкнутой и без производства, поэтому сумма потребительских наборов после обмена не может превышать сумму первоначальных запасов. В простейшем случае предполагается их равенство:

$\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{x}_i=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{x}_i^0$$\sum _{i}x_{i}=\sum _{i}x_{i}^{0}$ 

Обмен осуществляется по некоторым ценам (одинаковым для всех сделок всех потребителей). Обозначим вектор цен $p$$p$ . Бюджетные множества $B_i(p,x_i^0)$$B_{i}(p,x_{i}^{0})$  потребителей представляют допустимые наборы $x_i\in <!--\; \in \; -->X_i$$x_{i}\in X_{i}$ , удовлетворяющие следующим бюджетным ограничением:

$p{x}_i⩽<!--\; ⩽\; -->p{x}_i^0=R_i$$px_{i}\leqslant px_{i}^{0}=R_{i}$ 

где $R_i$$R_i$  — «доход» от (потенциальной) продажи начальных запасов.

Далее предполагается, что потребители совершают обменные операции исходя из своих предпочтений, а именно они выбирают те наборы ${\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}}_i$${\overline {x}}_{i}$  из $B_i$$B_{i}$ , чтобы любые лучшие (в смысле их предпочтений) допустимые наборы не принадлежали бюджетному множеству, то есть:

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}{x}_i\in <!--\; \in \; -->X_i,x_i\succ <!--\; \succ \; -->{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}}_i=>x_i\notin <!--\; \notin \; -->B_i$$\forall x_{i}\in X_{i},x_{i}\succ {\overline {x}}_{i}=>x_{i}\notin B_{i}$ 

Если предпочтения описываются функцией полезности, то это формулируется как стандартная задача потребителя по максимизации полезности на бюджетном множестве:

$\{\begin{array}{l}{u}_i(x_i)\to <!--\; \to \; -->\underset{x_i}{max}\\ x_i\in <!--\; \in \; -->B_i(p,R_i)\end{array}$${\begin{cases}u_{i}(x_{i})\rightarrow \max _{x_{i}}\\x_{i}\in B_{i}(p,R_{i})\end{cases}}$ 

При любом векторе цен $p$$p$  выполнен так называемый закон Вальраса, который в данном случае можно записать как

$\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{R}_i=p\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{x}_i$$\sum _{i}R_{i}=p\sum _{i}x_{i}$ 

Непосредственно отсюда следует, что если хотя бы для одного потребителя бюджетное ограничение будет строгим $px_{i}<R_{i}$ , то должен найтись хотя бы один потребитель для которого бюджетное ограничение нарушается, что недопустимо. Таким образом, фактически бюджетные ограничения всех потребителей будут выполнены со знаком равенства:

$p{x}_i=R_i$$px_{i}=R_{i}$ 

Решения задач потребителей позволяют определить функции (отображения) спроса $x_i(p)=x_i(p,R_i)=x_i(p,p{x}_i^0)$$x_{i}(p)=x_{i}(p,R_{i})=x_{i}(p,px_{i}^{0})$ . Функция (отображение) $E(p)=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}(x_i(p)-<!--\; -\; -->x_i^0)$$E(p)=\sum _{i}(x_{i}(p)-x_{i}^{0})$  называется функцией избыточного спроса в экономике обмена. Закон Вальраса через функцию избыточного спроса формулируется как

$pE(p)=0$$pE(p)=0$ 

Равновесие в экономике обменаПравить

Равновесием по Вальрасу в экономике обмена называется равновесный вектор цен $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{p}$${\overline {p}}$  и совокупность потребительских наборов ${\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}}_i$${\overline {x}}_{i}$ , таких, что каждый вектор ${\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}}_i$${\overline {x}}_{i}$  является решением задачи i-го потребителя при ценах $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{p}$${\overline {p}}$  и доходе $R_i=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{p}{x}_i^0$$R_{i}={\overline {p}}x_{i}^{0}$ , причем выполнено тождество $\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}}_i=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{x}_i^0$$\sum _{i}{\overline {x}}_{i}=\sum _{i}x_{i}^{0}$ .

Можно показать, что если множество допустимых потребительских наборов включает в себя только неотрицательные наборы, предпочтения потребителей локально ненасыщаемы, непрерывны и строго выпуклы, начальные запасы всех потребителей строго положительны и существует хотя бы один потребитель с монотонными предпочтениями, то существует равновесие в экономике обмена с некоторым положительным вектором равновесных цен. Требование положительности запасов всех потребителей можно ослабить до положительности суммарных запасов, если дополнительно предположить, что предпочтения всех потребителей (а не только хотя бы одного) монотонны.

См. такжеПравить

• Модель Эрроу-Дебрё

ЛитератураПравить

• Бусыгин В. П., Желободько Е. В., Цыплаков А. А. Микроэкономика - третий уровень. — Новосибирск, 2003.
• Черемных Ю. Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень. — М.: ИНФРА-М, 2008. — 844 с.(Учебники экономического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова)
• Фридман А. А. Лекции по курсу микроэкономики продвинутого уровня. — М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2007. — ISBN 978-5-7598-0335-5.