Электромагнитные колебания

Электромагнитные колебания — периодические изменения напряжённости $E$$E$ и индукции $B$$B$ электромагнитного поля.

Электромагнитные колебания можно изобразить в виде самораспространяющихся поперечных колебаний электрического и магнитного полей. На рисунке — плоскополяризованная волна, распространяющаяся слева направо. Колебания электрического поля изображены в вертикальной плоскости, а колебания магнитного поля — в горизонтальной.

Электромагнитными колебаниями являются радиоволны, микроволны, инфракрасное излучение, видимый свет, ультрафиолетовое излучение, рентгеновские лучи, гамма-лучи.

Существует близкий термин — электрические колебания. Периодические ограниченные изменения величин заряда $q$$q$, тока $I$$I$ или напряжения $U$$U$ называют электрическими колебаниями. Синусоидальный переменный электрический ток является одним из видов вынужденных электрических колебаний.

Вывод формулыПравить

Электромагнитные волны как универсальное явление были предсказаны классическими законами электричества и магнетизма, известными как уравнения Максвелла. Если вы внимательно посмотрите на уравнения Максвелла в отсутствие источников (зарядов или токов), то обнаружите, что помимо тривиального решения, когда напряжённости электрического и магнитного поля равны нулю в каждой точке пространства и ничего не меняется, существуют нетривиальные решения, представляющие собой изменения обеих напряжённостей в пространстве и времени. Начнём с уравнений Максвелла для вакуума:

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{E}=0,(1)$$\nabla \cdot \mathbf {E} =0,\qquad (1)$ 

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{E}=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\mathbf{B},(2)$$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} ,\qquad (2)$ 

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{B}=0,(3)$$\nabla \cdot \mathbf {B} =0,\qquad (3)$ 

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{B}={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\mathbf{E},(4)$$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {E} ,\qquad (4)$ 

где

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}$$\nabla$  — векторный дифференциальный оператор набла.

Система уравнений (1)—(4) имеет тривиальное решение

$\mathbf{E}=\mathbf{B}=\mathbf{0}.$$\mathbf {E} =\mathbf {B} =\mathbf {0} .$ 

Чтобы найти нетривиальное решение, мы воспользуемся векторным тождеством, которое справедливо для любого вектора, в виде:

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\left(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{A}\right)=\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\left(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{A}\right)-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2\mathbf{A}.$$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {A} .$ 

Чтобы посмотреть как мы можем использовать его, возьмём операцию вихря от выражения (2):

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\left(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{E}\right)=\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{B}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\right).(5)$$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=\nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right).\quad (5)$ 

Левая часть (5) эквивалентна:

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\left(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{E}\right)=\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\left(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{E}\right)-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2\mathbf{E}=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2\mathbf{E},(6)$$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {E} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {E} =-\nabla ^{2}\mathbf {E} ,\qquad (6)$ 

где мы упрощаем, используя уравнение (1).

Правая часть эквивалентна:

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{B}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\right)=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\left(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{B}\right)=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}\mathbf{E}.(7)$$\nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} .\qquad (7)$ 

Уравнения (6) и (7) равны, таким образом эти результаты в дифференциальном уравнении для электрического поля, а именно

${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2\mathbf{E}={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}\mathbf{E},$$\nabla ^{2}\mathbf {E} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} ,$

Применяя аналогичные исходные результаты в аналогичном дифференциальном уравнении для магнитного поля:

${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2\mathbf{B}={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}\mathbf{B}.$$\nabla ^{2}\mathbf {B} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {B} .$

Эти дифференциальные уравнения эквивалентны волновому уравнению:

${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{2}f=\frac{1}{{c_0}^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2},$$\nabla ^{2}f={\frac {1}{{c_{0}}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}},$ 

где $c_0$$c_{0}$  — скорость волны в вакууме, $f$$f$  — описывает смещение.

Или

$\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}f=0,$$\Box f=0,$ 

где $\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}$$\Box$  — оператор Д’Аламбера:

$\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}={\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2-<!--\; -\; -->\frac{1}{{c_0}^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}=\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}^2}-<!--\; -\; -->\frac{1}{{c_0}^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}.$$\Box =\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c_{0}}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{{c_{0}}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}.$ 

Заметьте, что в случае электрического и магнитного полей скорость.:

$c_0=\frac{1}{\sqrt{{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0}},$$c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}},$ 

которая есть скорость света в вакууме. Уравнения Максвелла объединили диэлектрическую проницаемость вакуума ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0$$\varepsilon _{0}$ , магнитную проницаемость вакуума ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0$$\mu _{0}$   и непосредственно скорость света $c_0$$c_{0}$ . До этого вывода не было известно, что была такая строгая связь между светом, электричеством и магнетизмом.

Но имеются только два уравнения, а мы начали с четырёх, поэтому имеется ещё больше информации относительно волн, спрятанных в уравнениях Максвелла. Давайте рассмотрим типичную векторную волну для электрического поля.

$\mathbf{E}={\mathbf{E}}_{0}f\left(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{k}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{x}-<!--\; -\; -->c_0|\mathbf{k}|t\right).$$\mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}f\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}|\mathbf {k} |t\right).$ 

Здесь ${\mathbf{E}}_0$${\mathbf {E}}_{0}$  — постоянная амплитуда колебаний, $f$$f$  — любая мгновенная дифференцируемая функция, $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{k}}$${\hat {{\mathbf {k}}}}$  — единичный вектор в направлении распространения, а $\mathbf{x}$${{\mathbf {x}}}$  - радиус-вектор. Мы замечаем, что $f\left(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{k}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{x}-<!--\; -\; -->c_0|\mathbf{k}|t\right)$$f\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}|\mathbf {k} |t\right)$  — общее решение волнового уравнения. Другими словами

${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{2}f\left(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{k}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{x}-<!--\; -\; -->c_0|\mathbf{k}|t\right)=\frac{1}{{c_0}^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}t}f\left(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{k}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{x}-<!--\; -\; -->c_0|\mathbf{k}|t\right),$$\nabla ^{2}f\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}|\mathbf {k} |t\right)={\frac {1}{{c_{0}}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}t}}f\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}|\mathbf {k} |t\right),$ 

для типичной волны, распространяющейся в $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{k}}$${\hat {{\mathbf {k}}}}$  направлении.

Эта форма будет удовлетворять волновому уравнению, но будет ли она удовлетворять всем уравнениям Максвелла, и с чем соответствуется магнитное поле?

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{E}=\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{k}}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{E}}_0{f}^{\prime }\left(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{k}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{x}-<!--\; -\; -->c_0|\mathbf{k}|t\right)=0,$$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {E} _{0}f'\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}|\mathbf {k} |t\right)=0,$ 

$\mathbf{E}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{k}}=0.$$\mathbf {E} \cdot {\hat {\mathbf {k} }}=0.$ 

Первое уравнение Максвелла подразумевает, что электрическое поле ортогонально (перпендикулярно) направлению распространению волны.

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{E}=\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{k}}\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{E}}_0{f}^{\prime }\left(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{k}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{x}-<!--\; -\; -->c_0|\mathbf{k}|t\right)=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\mathbf{B},$$\nabla \times \mathbf {E} ={\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {E} _{0}f'\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}|\mathbf {k} |t\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} ,$ 

$\mathbf{B}=\frac{1}{c_0}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{k}}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{E}.$$\mathbf {B} ={\frac {1}{c_{0}}}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {E} .$ 

Второе уравнение Максвелла порождает магнитное поле. Оставшиеся уравнения будут удовлетворяться выбором $\mathbf{E},\mathbf{B}$$\mathbf {E} ,\mathbf {B}$ .

Мало того, что волны электрического и магнитного полей распространяются со скоростью света, но они имеют ограниченную ориентацию и пропорциональную величину, $E_0=c_0{B}_0$$E_{0}=c_{0}B_{0}$ , которую можно сразу же заметить из вектора Пойнтинга. Электрическое поле, магнитное поле и направление распространения волны все являются ортогональными, и распространение волны в том же направлении как вектор $\mathbf{E}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{B}$${\mathbf {E}}\times {\mathbf {B}}$ .

С точки зрения электромагнитной волны, перемещающейся прямолинейно, электрическое поле может колебаться вверх и вниз, в то время как магнитное поле может колебаться вправо и влево, но эта картина может чередоваться с электрическим полем, колеблющемся вправо и влево, и магнитным полем, колеблющимся вверх и вниз. Эта произвольность в ориентации с предпочтением к направлению распространения известна как поляризация.

См. такжеПравить

• Электромагнитное излучение
• Уравнения Максвелла
• Вибратор Герца
• Колебательный контур

ЛитератураПравить

• Баумгарт К. К.,. Электрические колебания // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.