Шары Данделена

Шары Данделена — сферы, участвующие в геометрическом построении, которое связывает планиметрическое определение эллипса, гиперболы и параболы через фокусы с их стереометрическим определением как сечения конуса. Предложены Данделеном в 1822 году.

Шары Данделена. Секущая плоскость касается шаров и не параллельна образующей конуса (коническое сечение — эллипс с фокусами в местах касания)

Положение и форма шаров Данделена при некоторых углах наклона секущей плоскости к оси конуса.

ОписаниеПравить

Рассмотрим круговой конус, рассечённый плоскостью, не проходящей через центр конуса. Рассмотрим две сферы, касающиеся поверхности конуса по окружностям $C$$C$  и $C^{\prime }$$C'$  и касающиеся секущей плоскости в точках $F$$F$  и $F^{\prime }$$F'$ . Такие сферы называют шарами Данделена. В случае, когда сечение конуса — эллипс или гипербола, существует две таких сферы, а в случае параболы — только одна.

Если сфер две, то в случае эллипса обе расположены в том же конусе, одна — над секущей плоскостью, вторая — под ней; в случае гиперболы одна сфера расположена в данном конусе, вторая — в конусе, симметричном данному относительно вершины, обе — над секущей плоскостью (или по ту же сторону от секущей плоскости, что и ось конуса, если секущая плоскость параллельна оси конуса, но не содержит её). Для параболы единственная сфера расположена в том же конусе над секущей плоскостью.

Из соображений симметрии ясно, что центры шаров лежат на оси конуса. Построим шары Данделена в случае эллипса, в случаях параболы и гиперболы построение во многом сходно. Опустим перпендикуляр из вершины конуса на секущую плоскость и проведем прямую через его основание и точку пересечения оси конуса и секущей плоскости. Через верхнюю точку пересечения этой прямой и поверхности конуса проведем биссектрису угла между этой прямой и образующей конуса, проходящей через эту точку. Через эту же точку проведём вторую биссектрису — угла, смежного указанному. Эти две биссектрисы пересекут ось конуса в центрах двух шаров Данделена. Осталось провести две сферы с центрами в этих двух точках и радиусом, равным расстоянию от центра до образующей.

Применение к построению сеченийПравить

Если взять произвольную точку $P$$P$  на линии пересечения конуса и плоскости $e$$e$  и провести через неё образующую конуса, которая пересекается с окружностями $C$$C$  и $C^{\prime }$$C'$  в точках $Q$$Q$  и $Q^{\prime }$$Q'$ , то при перемещении точки $P$$P$ , точки $Q$$Q$  и $Q^{\prime }$$Q'$  будут перемещаться по окружностям $C$$C$  и $C^{\prime }$$C'$  с сохранением расстояния $Q{Q}^{\prime }$$QQ'$ .

Так как $PQ$$PQ$  и $PF$$PF$  — отрезки двух касательных к сфере из одной точки $P$$P$ , то $PQ=PF$$PQ=PF$  и, аналогично, $P{Q}^{\prime }=P{F}^{\prime }$$PQ'=PF'$ .

Таким образом точки на линии пересечения

• имеют постоянную сумму $PF+P{F}^{\prime }=PQ+P{Q}^{\prime }=Q{Q}^{\prime }$$PF+PF'=PQ+PQ'=QQ'$  и значит, что множество возможных точек $P$$P$  — это есть эллипс, а точки $F$$F$  и $F^{\prime }$$F'$  — его фокусы.
• или имеют постоянную разницу $PF-<!--\; -\; -->P{F}^{\prime }=PQ-<!--\; -\; -->P{Q}^{\prime }=Q{Q}^{\prime }$$PF-PF'=PQ-PQ'=QQ'$  и значит, что множество возможных точек $P$$P$  — это есть гипербола, а точки $F$$F$  и $F^{\prime }$$F'$  — её фокусы.

Плоскость $e$$e$  пересекает плоскости, в которых лежат окружности $C$$C$  и $C^{\prime }$$C'$  по прямым, являющимся директрисами конического сечения. Свойство директрисы таково, что для всех точек, лежащих на линии пересечения конуса и плоскости $e$$e$  отношение расстояний от точки до директрисы и до соответствующего ей фокуса одинаково. Действительно, пусть $P$$P$  лежит на линии пересечения, $c$$c$  - плоскость окружности $C$$C$ . Пусть плоскости $c$$c$  и $e$$e$  пересекаются по прямой $l$$l$ , $PH$$PH$  - перпендикуляр из $P$$P$  на $l$$l$ , $PK$$PK$  - перпендикуляр из $P$$P$  на $c$$c$ . Нетрудно заметить, что $\frac{PH}{PK}=\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$${\frac {PH}{PK}}=\sin \alpha$ , где $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  — угол между плоскостями $c$$c$  и $e$$e$ . $\frac{PK}{PF}=\frac{PK}{PQ}=\frac{1}{\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$${\frac {PK}{PF}}={\frac {PK}{PQ}}={\frac {1}{\cos \varphi }}$ , где $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  — угол между осью конуса и его образующей. Перемножив два отношения, получим, что $\frac{PH}{PF}=\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$${\frac {PH}{PF}}={\frac {\sin \alpha }{\cos \varphi }}$ , то есть величина, не зависящая от выбора точки $P$$P$ . Величина $\frac{PF}{PH}$${\frac {PF}{PH}}$  , обратная ей, называется эксцентриситетом коники. (Другому фокусу соответствует другая директриса, образуемая пересечением секущей плоскости и плоскости окружности $C^{\prime }$$C'$ .) В случае, когда секущая плоскость параллельна некоторой образующей, $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}={90}^{\circ <!--\; \circ \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\alpha =90^{\circ }-\varphi$ , откуда $\frac{PF}{PH}=\frac{\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=1$${\frac {PF}{PH}}={\frac {\cos \varphi }{\sin \alpha }}=1$ , то есть $PF=PH$$PF=PH$ . Это соответствует стандартному определению параболы как геометрического места точек, равноудалённых от заданных точки (фокуса) и прямой (директрисы).

ЛитератураПравить

• Dandelin G. Mémoire sur l’hyperboloïde de révolution, et sur les hexagones de Pascal et de M. Brianchon // Nouveaux mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles, T. III., 1826 (pp. 3-16).
• Шаль М. О способе построения фокусов и доказательства их свойств на косом конусе // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. — М., 1883.
• Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Глава 1 // Наглядная геометрия. — 3-е русск. изд. — М.: Наука, 1981.
• Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.

• Делоне Б. Н., Райков Д. А. том 2 // Аналитическая геометрия. — М., Л.: Гостехиздат, 1949. — 516 с.
• Веселов А.П., Троицкий Е.В. Лекции по аналитической геометрии. — СПб.: Лань, 2003. — 160 с.
• Протасов В. Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. — М.: МЦНМО. — 56 с. — (Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 31).
• Ф. Нилов. Сферы Данделена на YouTube Лекция на Малом мехмате МГУ, 2011 г.

СсылкиПравить

•   На Викискладе есть медиафайлы по теме Шары Данделена