Чётные и нечётные числа

Чётность в теории чисел — характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два.

ОпределенияПравить

Чётное число — целое число, которое делится на 2 без остатка: …, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, …

Нечётное число — целое число, которое не делится на 2 без остатка: …, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9, …

Если m чётно, то оно представимо в виде $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m=2k$ , а если нечётно, то в виде $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m=2k+1$ , где $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $k\in \mathbb {Z}$ .

С точки зрения теории сравнений, чётные и нечётные числа — это элементы соответственно классов вычетов [0] и [1] по модулю 2.

АрифметикаПравить

Сложение и вычитание:
- Чётное ± Чётное = Чётное
- Чётное ± Нечётное = Нечётное
- Нечётное ± Нечётное = Чётное

Умножение:
- Чётное × Чётное = Чётное
- Чётное × Нечётное = Чётное
- Нечётное × Нечётное = Нечётное

Деление:
- Чётное / Чётное: однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат — целое число, то оно может быть как чётным, так и нечётным)
- Чётное / Нечётное: если результат — целое число, то оно Чётное
- Нечётное / Чётное: результат не может быть целым числом, и соответственно обладать атрибутами чётности не может
- Нечётное / Нечётное: если результат — целое число, то оно Нечётное

Признак чётностиПравить

В десятичной системе счисленияПравить

Если в десятичной форме записи числа последняя цифра является чётной (0, 2, 4, 6 или 8), то всё число также является чётным, в противном случае — нечётным.

42, 104, 11110, 9115817342 — чётные числа.

31, 75, 703, 78527, 2356895125 — нечётные числа.

В других системах счисленияПравить

Для всех систем счисления с чётным основанием (например, для шестнадцатеричной), действует тот же признак чётности: число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2. Для систем счисления с нечётным основанием существует другой признак чётности: число чётно тогда и только тогда, когда чётна сумма его цифр^[1]^[2]. Например, число, обозначаемое записью «136», чётно в любой системе счисления, начиная с семеричной^[1].

История и культураПравить

Понятие чётности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. В китайской космологии и натурософии чётные числа соответствуют понятию «инь», а нечётные — «ян»^[3].

В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции. Например в США, Европе и некоторых восточных странах считается, что чётное количество даримых цветов приносит счастье. В России и странах СНГ чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим. Однако, в случаях, когда в букете много цветов (обычно больше 11), чётность или нечётность их количества уже не играет никакой роли. Например, вполне допустимо подарить даме букет из 12, 14, 16 и т. д. цветов или срезов кустового цветка, имеющих множество бутонов, у которых они, в принципе, не подсчитываются. Тем более это относится к бо́льшему количеству цветов (срезов), даримых в других случаях.

ПрактикаПравить

Согласно Правилам дорожного движения, в зависимости от чётности или нечётности числа месяца может быть разрешена стоянка под знаками 3.29, 3.30
В высших учебных заведениях со сложными графиками учебного процесса применяются чётные и нечётные недели (могут называться также первыми и вторыми, верхними и нижними). Внутри этих недель отличается расписание учебных занятий и в некоторых случаях время их начала и окончания. Такая практика применяется для равномерности распределения нагрузки на студентов, преподавателей, по аудиториям, учебным корпусам - дисциплины небольшого объема ставятся 1 раз в 2 недели, а количество аудиторных часов в неделю у преподавателей и студентов примерно одинаковое на протяжении всего семестра.
Четность/нечетность чисел широко применяется на железнодорожном транспорте:
- При движении поезда ему присваивается маршрутный номер, который может быть четным или нечетным в зависимости от направления движения (прямое или обратное). Например поезд «Россия» при следовании из Владивостока в Москву имеет номер 001, а из Москвы во Владивосток — 002;
- Чётностью/нечётностью на сленге железнодорожников обозначается направление, в котором проходит поезд через станцию (пример объявления «По третьему пути пройдет нечётный поезд»);
- Места в плацкартных и купейных вагонах всегда распределяются: чётные — верхние, нечётные — нижние.
- С чётными и нечётными числами месяца долгое время были увязаны графики движения пассажирских поездов, следующих через один день. При совпадении двух подряд нечетных чисел (с 29 или 31 на 1 число) поезда могли назначаться не через день, а через два дня (если он отправляется по четным) или на следующий день. Но такая практика была неудобна для железнолорожников, и с распространением интернета и продаж билетов онлайн необходимость поддержания таких графиков отпала - пассажиры знают что поезда отправляются через день, а какое это будет число - всегда можно свериться в интернете. После каждого месяца с нечетным числом дней графики движения смещаются с четных чисел на нечетные и наоборот.^[4]

См. такжеПравить

Чётность нуля

ПримечанияПравить

↑ ¹ ² Яков Перельман. Чёт или нечет? // Занимательная арифметика: загадки и диковинки в мире чисел. — Издание восьмое, сокращённое. — М.: Детгиз, 1954. — С. 66—68.
↑ Ruth L. Owen. Divisibility in bases (англ.) // The Pentagon: A Mathematics Magazine for Students : журнал. — 1992. — Vol. 51, iss. 2. — P. 17–20. Архивировано 9 сентября 2015 года.
↑ Рифтин Б. Л. Инь и Ян. Мифы народов мира. Том 1, М.: Сов.энциклопедия, 1991, с. 547.
↑ Маршрут поезда 609Н Томск — Новокузнецк (рус.). Яндекс Расписания. Дата обращения: 28 декабря 2022.

СсылкиПравить

Последовательность A005408 в OEIS: нечётные числа
Последовательность A005843 в OEIS: чётные числа
Последовательность A179082 в OEIS: чётные числа с чётной суммой цифр в десятичной записи

[perelman1954-1] ¹ ² Яков Перельман. Чёт или нечет? // Занимательная арифметика: загадки и диковинки в мире чисел. — Издание восьмое, сокращённое. — М.: Детгиз, 1954. — С. 66—68.

[owen1992-2] Ruth L. Owen. Divisibility in bases (англ.) // The Pentagon: A Mathematics Magazine for Students : журнал. — 1992. — Vol. 51, iss. 2. — P. 17–20. Архивировано 9 сентября 2015 года.

[3] Рифтин Б. Л. Инь и Ян. Мифы народов мира. Том 1, М.: Сов.энциклопедия, 1991, с. 547.

[4] Маршрут поезда 609Н Томск — Новокузнецк (рус.). Яндекс Расписания. Дата обращения: 28 декабря 2022.

[1]

[2]

[3]

[4]