Число Лефшеца

Число Лефшеца — определённая целочисленная характеристика отображения топологического пространства в себя.

Число Лефшеца
Названо в честь	Соломон Лефшец
Кем доказано	Соломон Лефшец

ОпределениеПравить

Пусть $X$$X$  — топологическое пространство, $f:X\to <!--\; \to \; -->X$$f:X\to X$  — непрерывное отображение, $H_{\ast <!--\; \ast \; -->}(X,k)$$H_{*}(X,k)$  — группы гомологий $X$$X$  с коэффициентами в поле $k$$k$ . Пусть $t_n$$t_{n}$  — след линейного преобразования

$f_{\ast <!--\; \ast \; -->}:H_n(X,k)\to <!--\; \to \; -->H_n(X,k)$$f_{*}:H_{n}(X,k)\to H_{n}(X,k)$ 

По определению, число Лефшеца отображения $f$$f$  есть

$\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}(f,X)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^n{t}_n$$\Lambda (f,X)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}t_{n}$ 

СвойстваПравить

• Число Лефшеца определено если общий ранг групп $H_{\ast <!--\; \ast \; -->}(X,k)$$H_{*}(X,k)$  конечен, и в этом случае не зависит от выбора $k$$k$ .

• Число Лефшеца тождественного отображения равно эйлеровой характеристике $X$$X$ .

Формула ЛефшецаПравить

Пусть $X$$X$  — связное ориентируемое $n$$n$ -мерное компактное топологическое многообразие или $n$$n$ -мерный конечный клеточный комплекс, $f:X\to <!--\; \to \; -->X$$f:X\to X$  — непрерывное отображение.

Предположим, что все неподвижные точки отображения $f:X\to <!--\; \to \; -->X$$f:X\to X$  изолированы.

Для каждой неподвижной точки $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$ , обозначим через $i(x)$$i(x)$  её индекс Кронекера (локальная степень отображения $f$$f$  в окрестности точки $x$$x$ ). Тогда формула Лефшеца для $X$$X$  и $f$$f$  имеет вид

$\underset{\{x|f(x)=x\}}{\sum <!--\; \sum \; -->}i(x)=\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}(f,X).$$\sum _{{\{x|f(x)=x\}}}i(x)=\Lambda (f,X).$ 

• В частности, если отображение конечного клеточного комплекса не имеет неподвижных точек, то его число Лефшеца равно нулю.

ИсторияПравить

Эта формула была установлена впервые Лефшецем для конечномерных ориентируемых топологических многообразий и позже для конечных клеточных комплексов. Этим работам Лефшеца предшествовала работа Брауэра 1911 о неподвижной точке непрерывного отображения $n$$n$ -мерной сферы в себя.