Число Кэрола

Число Кэрола — это целое вида $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $4^{n}-2^{n+1}-1$ $4^{n}-2^{n+1}-1$ .

Эквивалентная форма — $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(2^{n}-1)^{2}-2$ $(2^{n}-1)^{2}-2$ .

Несколько первых чисел Кэрола:

−1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16 127, 65 023, 261 119, 1 046 527 (последовательность A093112 в OEIS).

Числа Кэрола впервые изучены Клетусом Эммануэлем (Cletus Emmanuel), назвавшим числа именем своего друга — Кэрола Г. Кирнона (Carol G. Kirnon)^[1]^[2].

Для n > 2 двоичное представление n-го числа Кэрола состоит из n − 2 последовательных единиц, единственного нуля и еще n + 1 последовательных единиц, или, в алгебраической форме,

\text{[math]}

\sum _{i\neq n+2}^{2n}2^{i-1}.

\sum _{i\neq n+2}^{2n}2^{i-1}.

Таким образом, например, 47 выглядит как 101111 в двоичном виде, а 223 как 11011111. Разница между 2n-м простым числом Мерсенна и n-м числом Кэрола равна $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $2^{n+1}$ $2^{n+1}$ . Это даёт ещё одно эквивалентное выражение для чисел Кэрола, $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(2^{2n}-1)-2^{n+1}$ $(2^{2n}-1)-2^{n+1}$ . Разница между n-м числом Кайни и n-м числом Кэрола равна (n + 2)-й степени двух.

Начиная с 7 каждое третье число Кэрола делится на 7.

Таким образом, чтобы число Кэрола было простым числом, его индекс n не может иметь вид 3x + 2 для x > 0.

Первые несколько чисел Кэрола, являющихся также простыми числами:

7, 47, 223, 3967, 16 127 (A091516).

К июлю 2007 года наибольшее известное число Кэрола, являющееся простым, — число для n = 253 987, имеющее 152 916 знаков^[3]^[4]. Оно найдено Клетусом Эммануэлем (Cletus Emmanuel) в мае 2007 года, используя программы MultiSieve и PrimeFormGW. Это 40-е простое Кэрола.

7-е число Кэрола и 5-е простое число Кэрола (16 127) является также простым, если переставить цифры в обратном порядке^[5]. 12-е число Кэрола и 7-е простое Кэрола (16 769 023) имеет то же свойство^[6].

ПримечанияПравить

↑ Cletus Emmanuel at Prime Pages.
↑ Message to Yahoo primenumbers group from Cletus Emmanuel.
↑ 253987-е число Кэрола на Prime Pages.
↑ Carol Primes and Kynea Primes by Steven Harvey.
↑ 16127 — статья из словаря интересных фактов о простых числах «Prime Curios!» (ISBN 978-1-4486-5170-2).
↑ 16769023 — статья из словаря интересных фактов о простых числах «Prime Curios!» (ISBN 978-1-4486-5170-2).

СсылкиПравить

Weisstein, Eric W. Near-Square Prime (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Prime Database entry for Carol(226749)
Prime Database entry for Carol(248949)

[1] Cletus Emmanuel at Prime Pages.

[2] Message to Yahoo primenumbers group from Cletus Emmanuel.

[3] 253987-е число Кэрола на Prime Pages.

[4] Carol Primes and Kynea Primes by Steven Harvey.

[5] 16127 — статья из словаря интересных фактов о простых числах «Prime Curios!» (ISBN 978-1-4486-5170-2).

[6] 16769023 — статья из словаря интересных фактов о простых числах «Prime Curios!» (ISBN 978-1-4486-5170-2).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]