Простое число Вильсона

Простое число Вильсона (названо в честь английского математика Джона Вильсона^[en]) — это простое число $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $p$ $p$ , такое, что $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $p^{2}$ $p^{2}$ делит $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(p-1)!+1$ $(p-1)!+1$ , где «!» означает факториал. Заметьте, что по теореме Вильсона любое простое $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $p$ $p$ делит $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(p-1)!+1$ $(p-1)!+1$ .

Известны только три простых числа Вильсона — это 5, 13 и 563 (последовательность A007540 в OEIS). Если существуют другие, они должны быть больше 2⋅10¹³.^[1]

Была высказана гипотеза, что существует бесконечно много простых чисел Вильсона, и их количество в интервале [x, y] около log(log(y)/log(x)).^[2]

Также была выдвинута гипотеза (см. комментарии к последовательности в OEIS), что p — число Вильсона тогда и только тогда, когда:

\text{[math]}

\sum _{i=1}^{p-1}i^{p-1}=1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}\equiv p-1{\pmod {p^{2}}}

\sum _{i=1}^{p-1}i^{p-1}=1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}\equiv p-1{\pmod {p^{2}}}

.

Было предпринято несколько попыток поиска простых чисел Вильсона.^[3]^[4]^[5]

Проект распределённых вычислений Ibercivis^[en] включает поиск простых чисел Вильсона.^[6] Другой поиск координируется проектом mersenneforum.^[7]

ОбобщенияПравить

Почти простые ВильсонаПравить

Простые p, для которых выполняется (p − 1)! ≡ − 1 + Bp (mod p²) для малых |B| могут быть названы почти простыми Вильсона. Почти простые Вильсона с B = 0 представляют собой простые числа Вильсона. Следующая таблица дает список всех таких чисел с |B| ≤ 100 от 10⁶ до 4⋅10¹¹:^[1]

p	B
1282279	+20
1306817	−30
1308491	−55
1433813	−32
1638347	−45
1640147	−88
1647931	+14
1666403	+99
1750901	+34
1851953	−50
2031053	−18
2278343	+21
2313083	+15
2695933	−73
3640753	+69
3677071	−32
3764437	−99
3958621	+75
5062469	+39
5063803	+40
6331519	+91
6706067	+45
7392257	+40
8315831	+3
8871167	−85
9278443	−75
9615329	+27
9756727	+23
10746881	−7
11465149	−62
11512541	−26
11892977	−7
12632117	−27
12893203	−53
14296621	+2
16711069	+95
16738091	+58
17879887	+63
19344553	−93
19365641	+75
20951477	+25
20972977	+58
21561013	−90
23818681	+23
27783521	−51
27812887	+21
29085907	+9
29327513	+13
30959321	+24
33187157	+60
33968041	+12
39198017	−7
45920923	−63
51802061	+4
53188379	−54
56151923	−1
57526411	−66
64197799	+13
72818227	−27
87467099	−2
91926437	−32
92191909	+94
93445061	−30
93559087	−3
94510219	−69
101710369	−70
111310567	+22
117385529	−43
176779259	+56
212911781	−92
216331463	−36
253512533	+25
282361201	+24
327357841	−62
411237857	−84
479163953	−50
757362197	−28
824846833	+60
866006431	−81
1227886151	−51
1527857939	−19
1636804231	+64
1686290297	+18
1767839071	+8
1913042311	−65
1987272877	+5
2100839597	−34
2312420701	−78
2476913683	+94
3542985241	−74
4036677373	−5
4271431471	+83
4296847931	+41
5087988391	+51
5127702389	+50
7973760941	+76
9965682053	−18
10242692519	−97
11355061259	−45
11774118061	−1
12896325149	+86
13286279999	+52
20042556601	+27
21950810731	+93
23607097193	+97
24664241321	+46
28737804211	−58
35525054743	+26
41659815553	+55
42647052491	+10
44034466379	+39
60373446719	−48
64643245189	−21
66966581777	+91
67133912011	+9
80248324571	+46
80908082573	−20
100660783343	+87
112825721339	+70
231939720421	+41
258818504023	+4
260584487287	−52
265784418461	−78
298114694431	+82

Числа ВильсонаПравить

Число Вильсона — это целое m, такое, что W(m) ≡ 0 (mod m), где W(m) означает дробь Вильсона

\text{[math]}

W(m)={\frac {(m-1)!+1}{m}}

(последовательность A157250 в OEIS).

Если m — простое, то оно будет и простым Вильсона. С учётом числа $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $1$ имеется 13 чисел Вильсона до 5⋅10⁸.^[8]

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

↑ ¹ ² A Search for Wilson primes Архивная копия от 7 апреля 2018 на Wayback Machine Retrieved on November 2, 2012.
↑ The Prime Glossary: Wilson prime (неопр.). Дата обращения: 16 января 2013. Архивировано 25 июля 2018 года.
↑ McIntosh, R. WILSON STATUS (Feb. 1999) (неопр.). E-Mail to Paul Zimmermann (9 марта 2004). Дата обращения: 6 июня 2011. Архивировано 29 января 2013 года.
↑ A search for Wieferich and Wilson primes, p 443
↑ Ribenboim, P. (англ.) (рус.; Keller, W. Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde (нем.). — Berlin Heidelberg New York: Springer, 2006. — S. 241. — ISBN 3-540-34283-4.
↑ Ibercivis site (неопр.). Дата обращения: 16 января 2013. Архивировано из оригинала 20 июня 2012 года.
↑ Distributed search for Wilson primes Архивная копия от 18 марта 2020 на Wayback Machine (at mersenneforum.org)
↑ Takashi Agoh; Karl Dilcher, Ladislav Skula. Wilson quotients for composite moduli (англ.) // Math. Comput. (англ.) (рус. : journal. — 1998. — Vol. 67, no. 222. — P. 843—861. — doi:10.1090/S0025-5718-98-00951-X.

ЛитератураПравить

N. G. W. H. Beeger. Quelques remarques sur les congruences r^p−1 ≡ 1 (mod p²) et (p − 1!) ≡ −1 (mod p²) (англ.) // The Messenger of Mathematics (англ.) (рус. : journal. — 1913–1914. — Vol. 43. — P. 72—84.
Karl Goldberg. A table of Wilson quotients and the third Wilson prime (англ.) // London Mathematical Society : journal. — 1953. — Vol. 28, no. 2. — P. 252—256. — doi:10.1112/jlms/s1-28.2.252.
Paulo Ribenboim (англ.) (рус.. The new book of prime number records (неопр.). — Springer-Verlag, 1996. — С. 346. — ISBN 0-387-94457-5.
Richard E. Crandall; Karl Dilcher, Carl Pomerance. A search for Wieferich and Wilson primes (англ.) // Math. Comput. (англ.) (рус. : journal. — 1997. — Vol. 66, no. 217. — P. 433—449. — doi:10.1090/S0025-5718-97-00791-6.
Richard E. Crandall; Carl Pomerance. Prime Numbers: A Computational Perspective (англ.). — Springer-Verlag, 2001. — P. 29. — ISBN 0-387-94777-9.
Erna H. Pearson. On the Congruences (p − 1)! ≡ −1 and 2^p−1 ≡ 1 (mod p²) (англ.) // Math. Comput. (англ.) (рус. : journal. — 1963. — Vol. 17. — P. 194—195.

СсылкиПравить

The Prime Glossary: Wilson prime (недоступная ссылка)
Weisstein, Eric W. Wilson prime (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Status of the search for Wilson primes (англ.)
Wilson Quotients for composite moduli (англ.)
On congruences involving Bernoulli numbers and the quotients of Fermat and Wilson (недоступная ссылка)

[Search-1] ¹ ² A Search for Wilson primes Архивная копия от 7 апреля 2018 на Wayback Machine Retrieved on November 2, 2012.

[2] The Prime Glossary: Wilson prime (неопр.). Дата обращения: 16 января 2013. Архивировано 25 июля 2018 года.

[3] McIntosh, R. WILSON STATUS (Feb. 1999) (неопр.). E-Mail to Paul Zimmermann (9 марта 2004). Дата обращения: 6 июня 2011. Архивировано 29 января 2013 года.

[4] A search for Wieferich and Wilson primes, p 443

[5] Ribenboim, P. (англ.) (рус.; Keller, W. Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde (нем.). — Berlin Heidelberg New York: Springer, 2006. — S. 241. — ISBN 3-540-34283-4.

[6] Ibercivis site (неопр.). Дата обращения: 16 января 2013. Архивировано из оригинала 20 июня 2012 года.

[7] Distributed search for Wilson primes Архивная копия от 18 марта 2020 на Wayback Machine (at mersenneforum.org)

[8] Takashi Agoh; Karl Dilcher, Ladislav Skula. Wilson quotients for composite moduli (англ.) // Math. Comput. (англ.) (рус. : journal. — 1998. — Vol. 67, no. 222. — P. 843—861. — doi:10.1090/S0025-5718-98-00951-X.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]