Число Белла

Число Белла — число всех неупорядоченных разбиений $n$$n$-элементного множества, обозначаемое $B_n$$B_{n}$, при этом по определению полагают $B_0=1$$B_{0}=1$.

Значения $B_n$$B_{n}$ для $n=0,1,2,\dots <!--\; \dots \; -->$$n=0,1,2,\dots$ образуют последовательность:

1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21 147, 115 975, …

Ряд чисел Белла обозначает число способов, с помощью которых можно распределить $n$$n$ пронумерованных шаров по $n$$n$ идентичным коробкам. Кроме этого, числа Белла дают возможность узнать сколько существует способов разложить на множители составное число, состоящее из $n$$n$ простых множителей.

Числа Белла названы в честь Эрика Белла, который писал о них в 1930-х годах.

Математические свойстваПравить

Число Белла можно вычислить как сумму чисел Стирлинга второго рода:

$B_n=\underset{m=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}S(n,m),$$B_{n}=\sum _{m=0}^{n}S(n,m),$ 

а также задать в рекуррентной форме:

$B_{n+1}=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})B_k.$$B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{k}.$ 

Для чисел Белла справедлива также формула Добинского:

$B_n=\frac{1}{e}\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{k^n}{k!}.$$B_{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}.$ 

Если $p$$p$  — простое, то верно сравнение Тушара:

$B_{n+p}\equiv <!--\; \equiv \; -->B_n+B_{n+1}(\mathrm{mod}p)$$B_{n+p}\equiv B_{n}+B_{n+1}{\pmod {p}}$ 

и более общее:

$B_{n+p^m}\equiv <!--\; \equiv \; -->m{B}_n+B_{n+1}(\mathrm{mod}p).$$B_{n+p^{m}}\equiv mB_{n}+B_{n+1}{\pmod {p}}.$ 

Экспоненциальная производящая функция чисел Белла имеет вид

$\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{B_n}{n!}{x}^n=e^{e^x-<!--\; -\; -->1}.$$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}=e^{e^{x}-1}.$ 

ЛитератураПравить

• Ламберто Гарсия дель Сид. Замечательные числа : Ноль, 666 и другие бестии. — М. : «Де Агостини», 2014. — Т. 21. — 160 с. — (Мир математики: в 40 т.). — ББК 22.1. — УДК 51(0.062). — ISBN 978-5-9774-0682-6.
• Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. — М.: Высшая школа, 2006. — 392 с. — ISBN 5-06-005683-X.

СсылкиПравить

• Bell, E. T. (1934). “Exponential polynomials”. Annals of Mathematics. 35: 258—277. DOI:10.2307/1968431. JSTOR 1968431..
• Bell, E. T. (1938). “The iterated exponential integers”. Annals of Mathematics. 39: 539—557. DOI:10.2307/1968633. JSTOR 1968633..