Число Моцкина

Число Моцкина для данного числа n — это количество возможных вариантов соединения n различающихся точек на окружности непересекающимися хордами (хорды могут выходить не из каждой точки). Числа Моцкина названы в честь Теодора Моцкина^[en] и имеют множества проявлений в геометрии, комбинаторике и теории чисел.

Числа Моцкина $M_n$$M_{n}$ для $n=0,1,\dots <!--\; \dots \; -->$$n=0,1,\dots$ формируют последовательность:

1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, 41835, 113634, 310572, 853467, 2356779, 6536382, 18199284, 50852019, 142547559, 400763223, 1129760415, 3192727797, 9043402501, 25669818476, 73007772802, 208023278209, 593742784829, ... последовательность A001006 в OEIS

ПримерыПравить

Приведенные фигуры демонстрируют 9 способов соединить 4 точки на окружности непересекающимися хордами:

 

А эти показывают 21 способ соединить 5 точек:

 

СвойстваПравить

Числа Моцкина удовлетворяют рекуррентным соотношениям

$M_n=M_{n-<!--\; -\; -->1}+\underset{i=0}{\overset{n-<!--\; -\; -->2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{M}_i{M}_{n-<!--\; -\; -->2-<!--\; -\; -->i}=\frac{2n+1}{n+2}{M}_{n-<!--\; -\; -->1}+\frac{3n-<!--\; -\; -->3}{n+2}{M}_{n-<!--\; -\; -->2}.$$M_{n}=M_{n-1}+\sum _{i=0}^{n-2}M_{i}M_{n-2-i}={\frac {2n+1}{n+2}}M_{n-1}+{\frac {3n-3}{n+2}}M_{n-2}.$ 

Числа Моцкина могут быть выражены через биномиальные коэффициенты и числа Каталана:

$M_n=\underset{k=0}{\overset{\lfloor <!--\; \lfloor \; -->n/2\rfloor <!--\; \rfloor \; -->}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k})C_k.$$M_{n}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}C_{k}.$ 

Простое число Моцкина - это число Моцкина, которое является простым, таких известно четыре:

2, 127, 15511, 953467954114363 последовательность A092832 в OEIS

Интерпретации в комбинаторикеПравить

Число Моцкина для n также является количеством положительных целых последовательностей длины n-1, в которых начальный и конечный элементы равны 1 или 2, а разность между любыми двумя последовательными элементами равна -1, 0 или 1.

Также число Моцкина для n задает количество маршрутов из точки (0, 0) до точки (n, 0) за n шагов, если разрешено перемещаться только вправо (вверх, вниз или прямо) на каждом шагу, и запрещается опускаться ниже оси y = 0.

Например, на следующем рисунке показаны 9 допустимых путей Моцкина от (0, 0) до (4, 0):

 

Существует по меньшей мере четырнадцать различных проявлений чисел Моцкина в разных областях математики, которые перечислили Донаги и Шапиро в (1977)  в своём обзоре чисел Моцкина.

Гвиберт, Пергола и Пинзани в (2001) показали, что везикулярные инволюции перечислены числами Моцкина.

См. такжеПравить

• Числа Деланноя
• Числа Нараяны
• Числа Шрёдера

СсылкиПравить

• Bernhart, Frank R. (1999), Catalan, Motzkin, and Riordan numbers, Discrete Mathematics Т. 204 (1-3): 73–112, DOI 10.1016/S0012-365X(99)00054-0 
• Donaghey, R. & Shapiro, L. W. (1977), Motzkin numbers, Journal of Combinatorial Theory, Series A Т. 23 (3): 291–301, DOI 10.1016/0097-3165(77)90020-6 
• Guibert, O.; Pergola, E. & Pinzani, R. (2001), Vexillary involutions are enumerated by Motzkin numbers, Annals of Combinatorics Т. 5 (2): 153–174, ISSN 0218-0006, DOI 10.1007/PL00001297 
• Motzkin, T. S. (1948), Relations between hypersurface cross ratios, and a combinatorial formula for partitions of a polygon, for permanent preponderance, and for non-associative products, Bulletin of the American Mathematical Society Т. 54 (4): 352–360, DOI 10.1090/S0002-9904-1948-09002-4 

Внешние ссылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Motzkin Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.