Четырёхполюсник

Четырёхпо́люсник — электрическая цепь, разновидность многополюсника, имеющая четыре точки подключения. Как правило, две точки являются входом, две другие — выходом.

Общие сведенияПравить

 

Схема четырёхполюсника

При анализе электрических цепей очень часто бывает удобным выделить фрагмент цепи, имеющий две пары зажимов. Поскольку электрические (электронные) цепи очень часто связаны с передачей энергии или обработкой и преобразованием информации, одну пару зажимов обычно называют «входными», а вторую — «выходными». На входные зажимы подаётся исходный сигнал, с выходных снимается преобразованный.

Такими четырёхполюсниками являются, например, трансформаторы, усилители, фильтры, стабилизаторы напряжения, телефонные линии, линии электропередачи и т. д.

Однако математическая теория четырёхполюсников не предполагает никаких предопределённых потоков энергии/информации в цепях, поэтому названия «входные» и «выходные» являются данью традиции и с этой оговоркой будут использоваться далее.

Состояния входных и выходных зажимов определяются четырьмя параметрами: напряжением и током во входной (U₁, I₁) и выходной (U₂, I₂) цепях. В этой системе параметров линейный четырёхполюсник описывается системой из двух линейных уравнений, причём два из четырёх параметров состояния являются исходными, а два других — определяемыми. Для нелинейных четырёхполюсников зависимость может носить более сложный характер. Например, выходные параметры через входные можно выразить системой

${\begin{cases}U_{2}=b_{11}U_{1}+b_{12}I_{1}\\I_{2}=b_{21}U_{1}+b_{22}I_{1}\\\end{cases}};~~~{\begin{pmatrix}U_{2}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{1}\end{pmatrix}}$ 

В дальнейшем будет использоваться запись системы уравнений в матричном виде, как наиболее удобная для восприятия.

Системы параметровПравить

Линейный четырёхполюсник, не содержащий независимых источников (напряжения и/или тока), описывается четырьмя параметрами — два напряжения и два тока. Любые две величины из четырёх можно определить через оставшиеся две. Поскольку число сочетаний 2 из 4 — 6, используется одна из шести систем записи формальных параметров четырёхполюсника:

• A-форма U₁=AU₂+BI₂; I₁=CU₂+DI₂, где A, B, C, D — A-параметры, обобщенные или комплексные параметры.
• Y-форма I₁=Y₁₁U₁+Y₁₂U₂; I₂=Y₂₁U₁+Y₂₂U₂, где Y₁₁, Y₁₂, Y₂₁, Y₂₂ — Y-параметры, или параметры проводимостей.
• Z-форма U₁=Z₁₁I₁+Z₁₂I₂; U₂=Z₂₁I₁+Z₂₂I₂, где Z₁₁, Z₁₂, Z₂₁, Z₂₂ — Z-параметры, или параметры сопротивлений.
• H-форма U₁=h₁₁I₁+h₁₂U₂; I₂=h₂₁I₁+h₂₂U₂, где h₁₁, h₁₂, h₂₁, h₂₂ — h-параметры, которые применяются при рассмотрении схем с транзисторами.
• G-форма I₁=G₁₁U₁+G₁₂I₂; U₂=G₂₁U₁+G₂₂I₂, где G — это параметр который используется при рассмотрении ламповых схем.
• B-форма U₂=B₁₁U₁+B₁₂I₁; I₂=B₂₁U₁+B₂₂I₁

Конкретная система выбирается из соображений удобства. Выбор зависит от того, какой параметр (напряжение или ток) является входным и какой — выходным сигналом для данного четырёхполюсника.

В указанных системах формальных параметров не могут быть учтены произвольные внутренние источники (например, постоянного тока), допускаются только управляемые генераторы тока и управляемые генераторы напряжения, которые управляются входными сигналами четырёхполюсника. Поэтому в качестве четырёхполюсников рассматриваются, как правило, эквивалентные схемы по переменному току.

Системы уравнений и эквивалентные схемы четырёхполюсников при использовании каждого типа параметров показаны в таблице.

Системы уравнений, эквивалентные схемы, измерение параметровПравить

Тип	Система уравнений	Эквивалентная схема	Измерение параметров
$G$$G$	${\begin{pmatrix}I_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}$		$g_{11}={\frac{I_1}{U_1}|}_{I_2=0}{g}_{12}={\frac{I_1}{I_2}|}_{U_1=0}$$g_{11}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{1}}}\right|_{I_{2}=0}\quad g_{12}=\left.{\frac {I_{1}}{I_{2}}}\right|_{U_{1}=0}$  $g_{21}={\frac{U_2}{U_1}|}_{I_2=0}{g}_{22}={\frac{U_2}{I_2}|}_{U_1=0}$$g_{21}=\left.{\frac {U_{2}}{U_{1}}}\right|_{I_{2}=0}\quad g_{22}=\left.{\frac {U_{2}}{I_{2}}}\right|_{U_{1}=0}$
$H$$H$	${\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}$		$h_{11}={\frac{U_1}{I_1}|}_{U_2=0}{h}_{12}={\frac{U_1}{U_2}|}_{I_1=0}$$h_{11}=\left.{\frac {U_{1}}{I_{1}}}\right|_{U_{2}=0}\quad h_{12}=\left.{\frac {U_{1}}{U_{2}}}\right|_{I_{1}=0}$  $h_{21}={\frac{I_2}{I_1}|}_{U_2=0}{h}_{22}={\frac{I_2}{U_2}|}_{I_1=0}$$h_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{I_{1}}}\right|_{U_{2}=0}\quad h_{22}=\left.{\frac {I_{2}}{U_{2}}}\right|_{I_{1}=0}$
$Y$$Y$	${\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{11}&y_{12}\\y_{21}&y_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}$		$y_{11}={\frac{I_1}{U_1}|}_{U_2=0}{y}_{12}={\frac{I_1}{U_2}|}_{U_1=0}$$y_{11}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{1}}}\right|_{U_{2}=0}\quad y_{12}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{2}}}\right|_{U_{1}=0}$  $y_{21}={\frac{I_2}{U_1}|}_{U_2=0}{y}_{22}={\frac{I_2}{U_2}|}_{U_1=0}$$y_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{U_{1}}}\right|_{U_{2}=0}\quad y_{22}=\left.{\frac {I_{2}}{U_{2}}}\right|_{U_{1}=0}$
$Z$$Z$	${\begin{pmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}$		$z_{11}={\frac{U_1}{I_1}|}_{I_2=0}{z}_{12}={\frac{U_1}{I_2}|}_{I_1=0}$$z_{11}=\left.{\frac {U_{1}}{I_{1}}}\right|_{I_{2}=0}\quad z_{12}=\left.{\frac {U_{1}}{I_{2}}}\right|_{I_{1}=0}$  $z_{21}={\frac{U_2}{I_1}|}_{I_2=0}{z}_{22}={\frac{U_2}{I_2}|}_{I_1=0}$$z_{21}=\left.{\frac {U_{2}}{I_{1}}}\right|_{I_{2}=0}\quad z_{22}=\left.{\frac {U_{2}}{I_{2}}}\right|_{I_{1}=0}$
$A$$A$	${\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{2}\\I_{2}\end{pmatrix}}$		$a_{11}={\frac{U_1}{U_2}|}_{I_2=0}{a}_{12}={\frac{U_1}{I_2}|}_{U_2=0}$$a_{11}=\left.{\frac {U_{1}}{U_{2}}}\right|_{I_{2}=0}\quad a_{12}=\left.{\frac {U_{1}}{I_{2}}}\right|_{U_{2}=0}$  $a_{21}={\frac{I_1}{U_2}|}_{I_2=0}{a}_{22}={\frac{I_1}{I_2}|}_{U_2=0}$$a_{21}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{2}}}\right|_{I_{2}=0}\quad a_{22}=\left.{\frac {I_{1}}{I_{2}}}\right|_{U_{2}=0}$
$B$$B$	${\begin{pmatrix}U_{2}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{1}\end{pmatrix}}$		$b_{11}={\frac{U_2}{U_1}|}_{I_1=0}{b}_{12}={\frac{U_2}{I_1}|}_{U_1=0}$$b_{11}=\left.{\frac {U_{2}}{U_{1}}}\right|_{I_{1}=0}\quad b_{12}=\left.{\frac {U_{2}}{I_{1}}}\right|_{U_{1}=0}$  $b_{21}={\frac{I_2}{U_1}|}_{I_1=0}{b}_{22}={\frac{I_2}{I_1}|}_{U_1=0}$$b_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{U_{1}}}\right|_{I_{1}=0}\quad b_{22}=\left.{\frac {I_{2}}{I_{1}}}\right|_{U_{1}=0}$

Преобразование параметровПравить

Принцип преобразования

В качестве примера преобразуем h-параметры четырёхполюсника в y-параметры. Для этого нужно осуществить следующее преобразование системы уравнений:

$\{\begin{array}{l}{U}_1=h_{11}{I}_1+h_{12}{U}_2\\ I_2=h_{21}{I}_1+h_{22}{U}_2\end{array}\to <!--\; \to \; -->\{\begin{array}{l}{I}_1=y_{11}{U}_1+y_{12}{U}_2\\ I_2=y_{21}{U}_1+y_{22}{U}_2\end{array}.$${\begin{cases}U_{1}=h_{11}I_{1}+h_{12}U_{2}\\I_{2}=h_{21}I_{1}+h_{22}U_{2}\end{cases}}\to ~~~{\begin{cases}I_{1}=y_{11}U_{1}+y_{12}U_{2}\\I_{2}=y_{21}U_{1}+y_{22}U_{2}\end{cases}}.$ 

Из первого уравнения исходной системы выразим I₁:

$\{\begin{array}{l}{I}_1=\frac{1}{h_{11}}{U}_1-<!--\; -\; -->\frac{h_{12}}{h_{11}}{U}_2\\ I_2=h_{21}{I}_1+h_{22}{U}_2\end{array}.$${\begin{cases}I_{1}={\frac {1}{h_{11}}}U_{1}-{\frac {h_{12}}{h_{11}}}U_{2}\\I_{2}=h_{21}I_{1}+h_{22}U_{2}\end{cases}}.$ 

Первое уравнение подставим во второе:

$\{\begin{array}{l}{I}_1=\frac{1}{h_{11}}{U}_1-<!--\; -\; -->\frac{h_{12}}{h_{11}}{U}_2\\ I_2=h_{21}\left(\frac{1}{h_{11}}{U}_1-<!--\; -\; -->\frac{h_{12}}{h_{11}}{U}_2\right)+h_{22}{U}_2\end{array}.$${\begin{cases}I_{1}={\frac {1}{h_{11}}}U_{1}-{\frac {h_{12}}{h_{11}}}U_{2}\\I_{2}=h_{21}\left({\frac {1}{h_{11}}}U_{1}-{\frac {h_{12}}{h_{11}}}U_{2}\right)+h_{22}U_{2}\end{cases}}.$ 

Преобразуем второе уравнение:

$I_2=\frac{h_{21}}{h_{11}}{U}_1+\left(h_{22}-<!--\; -\; -->\frac{h_{12}{h}_{21}}{h_{11}}\right)U_2=\frac{h_{21}}{h_{11}}{U}_1+\frac{h_{11}{h}_{22}-<!--\; -\; -->h_{12}{h}_{21}}{h_{11}}{U}_2=\frac{h_{21}}{h_{11}}{U}_1+\frac{{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_h}{h_{11}}{U}_2,$$I_{2}={\frac {h_{21}}{h_{11}}}U_{1}+\left(h_{22}-{\frac {h_{12}h_{21}}{h_{11}}}\right)U_{2}={\frac {h_{21}}{h_{11}}}U_{1}+{\frac {h_{11}h_{22}-h_{12}h_{21}}{h_{11}}}U_{2}={\frac {h_{21}}{h_{11}}}U_{1}+{\frac {\Delta _{h}}{h_{11}}}U_{2},$ 

где ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_h=h_{11}{h}_{22}-<!--\; -\; -->h_{12}{h}_{21}.$$\Delta _{h}=h_{11}h_{22}-h_{12}h_{21}.$ 

Получаем систему уравнений

$\{\begin{array}{l}{I}_1=\frac{1}{h_{11}}{U}_1-<!--\; -\; -->\frac{h_{12}}{h_{11}}{U}_2\\ I_2=\frac{h_{21}}{h_{11}}{U}_1+\frac{{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_h}{h_{11}}{U}_2\end{array}.$${\begin{cases}I_{1}={\frac {1}{h_{11}}}U_{1}-{\frac {h_{12}}{h_{11}}}U_{2}\\I_{2}={\frac {h_{21}}{h_{11}}}U_{1}+{\frac {\Delta _{h}}{h_{11}}}U_{2}\end{cases}}.$ 

Сравнивая её с целевой системой, получаем выражения для коэффициентов:

$y_{11}=\frac{1}{h_{11}};y_{12}=-<!--\; -\; -->\frac{h_{12}}{h_{11}};y_{21}=\frac{h_{21}}{h_{11}};y_{22}=\frac{{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_h}{h_{11}};$$y_{11}={\frac {1}{h_{11}}};~~~y_{12}=-{\frac {h_{12}}{h_{11}}};~~~y_{21}={\frac {h_{21}}{h_{11}}};~~~y_{22}={\frac {\Delta _{h}}{h_{11}}};$ 

Определитель новой системы находим простой подстановкой:

${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_y=y_{11}{y}_{22}-<!--\; -\; -->y_{12}{y}_{21}=\frac{1}{h_{11}}\frac{{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_h}{h_{11}}+\frac{h_{12}}{h_{11}}\frac{h_{21}}{h_{11}}=\frac{h_{11}{h}_{22}-<!--\; -\; -->h_{12}{h}_{21}+h_{12}{h}_{21}}{h_{11}^2}=\frac{h_{22}}{h_{11}}.$$\Delta _{y}=y_{11}y_{22}-y_{12}y_{21}={\frac {1}{h_{11}}}{\frac {\Delta _{h}}{h_{11}}}+{\frac {h_{12}}{h_{11}}}{\frac {h_{21}}{h_{11}}}={\frac {h_{11}h_{22}-h_{12}h_{21}+h_{12}h_{21}}{h_{11}^{2}}}={\frac {h_{22}}{h_{11}}}.$ 

	$H$$H$	$Y$$Y$	$Z$$Z$	$G$$G$	$A$$A$
$H$$H$		$h_{11}=1/y_{11}$$h_{11}=1/y_{11}$  $h_{12}=-<!--\; -\; -->y_{12}/y_{11}$$h_{12}=-y_{12}/y_{11}$  $h_{21}=y_{21}/y_{11}$$h_{21}=y_{21}/y_{11}$  $h_{22}={\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_y/y_{11}$$h_{22}=\Delta _{y}/y_{11}$  ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_h=y_{22}/y_{11}$$\Delta _{h}=y_{22}/y_{11}$	$h_{11}={\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_z/z_{22}$$h_{11}=\Delta _{z}/z_{22}$  $h_{12}=z_{12}/z_{22}$$h_{12}=z_{12}/z_{22}$  $h_{21}=-<!--\; -\; -->z_{21}/z_{22}$$h_{21}=-z_{21}/z_{22}$  $h_{22}=1/z_{22}$$h_{22}=1/z_{22}$  ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_h=z_{11}/z_{22}$$\Delta _{h}=z_{11}/z_{22}$	$h_{11}=g_{22}/{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_g$$h_{11}=g_{22}/\Delta _{g}$  $h_{12}=-<!--\; -\; -->g_{12}/{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_g$$h_{12}=-g_{12}/\Delta _{g}$  $h_{21}=-<!--\; -\; -->g_{21}/{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_g$$h_{21}=-g_{21}/\Delta _{g}$  $h_{22}=g_{11}/{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_g$$h_{22}=g_{11}/\Delta _{g}$  ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_h=1/{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_g$$\Delta _{h}=1/\Delta _{g}$	$h_{11}=B/D$$h_{11}=B/D$  $h_{12}={\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_A/D$$h_{12}=\Delta _{A}/D$  $h_{21}=-<!--\; -\; -->1/D$$h_{21}=-1/D$  $h_{22}=C/D$$h_{22}=C/D$
$Y$$Y$	$y_{11}=1/h_{11}$$y_{11}=1/h_{11}$  $y_{12}=-<!--\; -\; -->h_{12}/h_{11}$$y_{12}=-h_{12}/h_{11}$  $y_{21}=h_{21}/h_{11}$$y_{21}=h_{21}/h_{11}$  $y_{22}={\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_h/h_{11}$$y_{22}=\Delta _{h}/h_{11}$  ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_y=h_{22}/h_{11}$$\Delta _{y}=h_{22}/h_{11}$		$y_{11}=z_{22}/{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_z$$y_{11}=z_{22}/\Delta _{z}$  $y_{12}=-<!--\; -\; -->z_{12}/{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_z$$y_{12}=-z_{12}/\Delta _{z}$  $y_{21}=-<!--\; -\; -->z_{21}/{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_z$$y_{21}=-z_{21}/\Delta _{z}$  $y_{22}=z_{11}/{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_z$$y_{22}=z_{11}/\Delta _{z}$  ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_y=1/{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_z$$\Delta _{y}=1/\Delta _{z}$	$y_{11}={\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_g/g_{22}$$y_{11}=\Delta _{g}/g_{22}$  $y_{12}=g_{12}/g_{22}$$y_{12}=g_{12}/g_{22}$  $y_{21}=-<!--\; -\; -->g_{21}/g_{22}$$y_{21}=-g_{21}/g_{22}$  $y_{22}=1/g_{22}$$y_{22}=1/g_{22}$  ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_y=g_{11}/g_{22}$$\Delta _{y}=g_{11}/g_{22}$	$y_{11}=D/B$$y_{11}=D/B$  $y_{12}=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_A/B$$y_{12}=-\Delta _{A}/B$  $y_{21}=-<!--\; -\; -->1/B$$y_{21}=-1/B$  $y_{22}=A/B$$y_{22}=A/B$
$Z$$Z$	$z_{11}={\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_h/h_{22}$$z_{11}=\Delta _{h}/h_{22}$  $z_{12}=h_{12}/h_{22}$$z_{12}=h_{12}/h_{22}$  $z_{21}=-<!--\; -\; -->h_{21}/h_{22}$$z_{21}=-h_{21}/h_{22}$  $z_{22}=1/h_{22}$$z_{22}=1/h_{22}$  ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_z=h_{11}/h_{22}$$\Delta _{z}=h_{11}/h_{22}$	$z_{11}=y_{22}/{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_y$$z_{11}=y_{22}/\Delta _{y}$  $z_{12}=-<!--\; -\; -->y_{12}/{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_y$$z_{12}=-y_{12}/\Delta _{y}$  $z_{21}=-<!--\; -\; -->y_{21}/{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_y$$z_{21}=-y_{21}/\Delta _{y}$  $z_{22}=y_{11}/{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_y$$z_{22}=y_{11}/\Delta _{y}$  ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_z=1/{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_y$$\Delta _{z}=1/\Delta _{y}$		$z_{11}=1/g_{11}$$z_{11}=1/g_{11}$  $z_{12}=-<!--\; -\; -->g_{12}/g_{11}$$z_{12}=-g_{12}/g_{11}$  $z_{21}=g_{21}/g_{11}$$z_{21}=g_{21}/g_{11}$  $z_{22}={\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_g/g_{11}$$z_{22}=\Delta _{g}/g_{11}$  ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_z=g_{22}/g_{11}$$\Delta _{z}=g_{22}/g_{11}$	$z_{11}=A/C$$z_{11}=A/C$  $z_{12}={\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_A/C$$z_{12}=\Delta _{A}/C$  $z_{21}=1/C$$z_{21}=1/C$  $z_{22}=D/C$$z_{22}=D/C$
$G$$G$	$g_{11}=h_{22}/{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_h$$g_{11}=h_{22}/\Delta _{h}$  $g_{12}=-<!--\; -\; -->h_{12}/{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_h$$g_{12}=-h_{12}/\Delta _{h}$  $g_{21}=-<!--\; -\; -->h_{21}/{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_h$$g_{21}=-h_{21}/\Delta _{h}$  $g_{22}=h_{11}/{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_h$$g_{22}=h_{11}/\Delta _{h}$  ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_g=1/{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_h$$\Delta _{g}=1/\Delta _{h}$	$g_{11}={\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_y/y_{22}$$g_{11}=\Delta _{y}/y_{22}$  $g_{12}=y_{12}/y_{22}$$g_{12}=y_{12}/y_{22}$  $g_{21}=-<!--\; -\; -->y_{21}/y_{22}$$g_{21}=-y_{21}/y_{22}$  $g_{22}=1/y_{22}$$g_{22}=1/y_{22}$  ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_g=y_{11}/y_{22}$$\Delta _{g}=y_{11}/y_{22}$	$g_{11}=1/z_{11}$$g_{11}=1/z_{11}$  $g_{12}=-<!--\; -\; -->z_{12}/z_{11}$$g_{12}=-z_{12}/z_{11}$  $g_{21}=z_{21}/z_{11}$$g_{21}=z_{21}/z_{11}$  $g_{22}={\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_z/z_{11}$$g_{22}=\Delta _{z}/z_{11}$  ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_g=z_{22}/z_{11}$$\Delta _{g}=z_{22}/z_{11}$		$g_{11}=C/A$$g_{11}=C/A$  $g_{12}=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_A/A$$g_{12}=-\Delta _{A}/A$  $g_{21}={\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_A/A$$g_{21}=\Delta _{A}/A$  $g_{22}=B/A$$g_{22}=B/A$
$A$$A$	$A=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_h/h_{21}$$A=-\Delta _{h}/h_{21}$  $B=-<!--\; -\; -->h_{11}/h_{21}$$B=-h_{11}/h_{21}$  $C=-<!--\; -\; -->h_{22}/h_{21}$$C=-h_{{22}}/h_{{21}}$  $D=-<!--\; -\; -->1/h_{21}$$D=-1/h_{{21}}$	$A=-<!--\; -\; -->y_{22}/y_{21}$$A=-y_{{22}}/y_{{21}}$  $B=-<!--\; -\; -->1/y_{21}$$B=-1/y_{{21}}$  $C=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_y/y_{21}$$C=-\Delta _{y}/y_{21}$  $D=-<!--\; -\; -->y_{11}/y_{21}$$D=-y_{{11}}/y_{{21}}$	$A=z_{11}/z_{21}$$A=z_{{11}}/z_{{21}}$  $B={\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_z/z_{21}$$B=\Delta _{z}/z_{21}$  $C=1/z_{21}$$C=1/z_{{21}}$  $D=z_{22}/z_{21}$$D=z_{{22}}/z_{{21}}$	$A=1/g_{21}$$A=1/g_{{21}}$  $B=g_{22}/g_{21}$$B=g_{{22}}/g_{{21}}$  $C=g_{11}/g_{21}$$C=g_{{11}}/g_{{21}}$  $D={\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_g/g_{21}$$D=\Delta _{g}/g_{21}$

Преобразования схемПравить

R_in, R_out — входное и выходное сопротивления; K_I, K_U — коэффициенты усиления по току и напряжению.

$R_{in}=\frac{U_1}{I_1};R_{out}=\frac{U_2}{I_2};K_I=\frac{I_2}{I_1};K_U=\frac{U_2}{U_1}.$$R_{in}={\frac {U_{1}}{I_{1}}};\qquad R_{out}={\frac {U_{2}}{I_{2}}};\qquad K_{I}={\frac {I_{2}}{I_{1}}};\qquad K_{U}={\frac {U_{2}}{U_{1}}}.$ 

Схема	$H$$H$	$Y$$Y$	$Z$$Z$	$G$$G$
	$R_{in}=\frac{h_{11}+{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_{h}R}{1+h_{22}R}$$R_{in}={\frac {h_{11}+\Delta _{h}R}{1+h_{22}R}}$  $R_{out}=\frac{h_{11}+r}{{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_h+h_{22}r}$$R_{out}={\frac {h_{11}+r}{\Delta _{h}+h_{22}r}}$  $K_I=\frac{h_{21}}{1+h_{22}R}$$K_{I}={\frac {h_{21}}{1+h_{22}R}}$  $K_U=\frac{-<!--\; -\; -->h_{21}R}{h_{11}+{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_{h}R}$$K_{U}={\frac {-h_{21}R}{h_{11}+\Delta _{h}R}}$	$R_{in}=\frac{1+y_{22}R}{y_{11}+{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_{y}R}$$R_{in}={\frac {1+y_{22}R}{y_{11}+\Delta _{y}R}}$  $R_{out}=\frac{1+y_{11}r}{y_{22}+{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_{y}r}$$R_{out}={\frac {1+y_{11}r}{y_{22}+\Delta _{y}r}}$  $K_I=\frac{y_{21}}{y_{11}+{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_{y}R}$$K_{I}={\frac {y_{21}}{y_{11}+\Delta _{y}R}}$  $K_U=\frac{-<!--\; -\; -->y_{21}R}{1+y_{22}R}$$K_{U}={\frac {-y_{21}R}{1+y_{22}R}}$	$R_{in}=\frac{{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_z+z_{11}R}{z_{22}+R}$$R_{in}={\frac {\Delta _{z}+z_{11}R}{z_{22}+R}}$  $R_{out}=\frac{{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_z+z_{22}r}{z_{22}+r}$$R_{out}={\frac {\Delta _{z}+z_{22}r}{z_{22}+r}}$  $K_I=\frac{-<!--\; -\; -->z_{21}}{z_{22}+R}$$K_{I}={\frac {-z_{21}}{z_{22}+R}}$  $K_U=\frac{z_{21}R}{-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_z+z_{11}R}$$K_{U}={\frac {z_{21}R}{-\Delta _{z}+z_{11}R}}$	$R_{in}=\frac{g_{22}+R}{{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_g+g_{11}R}$$R_{in}={\frac {g_{22}+R}{\Delta _{g}+g_{11}R}}$  $R_{out}=\frac{g_{22}+{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_{g}r}{1+g_{11}r}$$R_{out}={\frac {g_{22}+\Delta _{g}r}{1+g_{11}r}}$  $K_I=\frac{-<!--\; -\; -->g_{21}}{{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_g+g_{11}R}$$K_{I}={\frac {-g_{21}}{\Delta _{g}+g_{11}R}}$  $K_U=\frac{g_{21}R}{g_{22}+R}$$K_{U}={\frac {g_{21}R}{g_{22}+R}}$

Принцип вычисления параметров схемы

В качестве примера найдем входное/выходное сопротивление и коэффициенты усиления по току и напряжению для четырёхполюсника, описанного h-параметрами.

• Входное сопротивление

$R_{in}=\frac{U_1}{I_1};$$R_{in}={\frac {U_{1}}{I_{1}}};$ 

Ненагруженный четырёхполюсник описывается системой

$\{\begin{array}{l}{U}_1=h_{11}{I}_1+h_{12}{U}_2\\ I_2=h_{21}{I}_1+h_{22}{U}_2\end{array}.$${\begin{cases}U_{1}=h_{11}I_{1}+h_{12}U_{2}\\I_{2}=h_{21}I_{1}+h_{22}U_{2}\end{cases}}.$ 

При подключении нагрузки

$U_2=-<!--\; -\; -->I_{2}R.$$U_{2}=-I_{2}R.$ 

Преобразуем систему уравнений

$\{\begin{array}{l}{U}_1=h_{11}{I}_1-<!--\; -\; -->h_{12}{I}_{2}R\\ I_2=h_{21}{I}_1-<!--\; -\; -->h_{22}{I}_{2}R\end{array};\{\begin{array}{l}{I}_2{h}_{12}R=h_{11}{I}_1-<!--\; -\; -->U_1\\ I_2(1+h_{22}R)=h_{21}{I}_1\end{array};$${\begin{cases}U_{1}=h_{11}I_{1}-h_{12}I_{2}R\\I_{2}=h_{21}I_{1}-h_{22}I_{2}R\end{cases}};\qquad {\begin{cases}I_{2}h_{12}R=h_{11}I_{1}-U_{1}\\I_{2}(1+h_{22}R)=h_{21}I_{1}\end{cases}};$ 

$(h_{11}{I}_1-<!--\; -\; -->U_1)(1+h_{22}R)=h_{12}{h}_{21}{I}_{1}R;$$(h_{11}I_{1}-U_{1})(1+h_{22}R)=h_{12}h_{21}I_{1}R;$ 

$h_{11}{I}_1(1+h_{22}R)-<!--\; -\; -->U_1(1+h_{22}R)=h_{12}{h}_{21}{I}_{1}R;$$h_{11}I_{1}(1+h_{22}R)-U_{1}(1+h_{22}R)=h_{12}h_{21}I_{1}R;$ 

$U_1(1+h_{22}R)=I_1[h_{11}(1+h_{22}R)-<!--\; -\; -->h_{12}{h}_{21}R];$$U_{1}(1+h_{22}R)=I_{1}[h_{11}(1+h_{22}R)-h_{12}h_{21}R];$ 

$U_1(1+h_{22}R)=I_1(h_{11}+h_{11}{h}_{22}R-<!--\; -\; -->h_{12}{h}_{21}R);$$U_{1}(1+h_{22}R)=I_{1}(h_{11}+h_{11}h_{22}R-h_{12}h_{21}R);$ 

$U_1(1+h_{22}R)=I_1(h_{11}+{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_{h}R);$$U_{1}(1+h_{22}R)=I_{1}(h_{11}+\Delta _{h}R);$ 

$R_{in}=\frac{U_1}{I_1}=\frac{h_{11}+{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_{h}R}{1+h_{22}R}.$$R_{in}={\frac {U_{1}}{I_{1}}}={\frac {h_{11}+\Delta _{h}R}{1+h_{22}R}}.$ 

Разновидности четырёхполюсниковПравить

Симметричный четырёхполюсник — четырёхполюсник, у которого схема одинакова относительно его входных и выходных зажимов. Тогда для симметричного четырёхполюсника Z11 = Z22. Ещё: если при перемене местами источника и приемника энергии их токи не меняются, то такой четырёхполюсник называется симметричным.

Пассивный четырёхполюсник — это четырёхполюсник, который не содержит источников энергии, либо содержит скомпенсированные источники энергии.

Активный четырёхполюсник — это четырёхполюсник, который содержит нескомпенсированные источники энергии.

Обратимый четырёхполюсник — четырёхполюсник, у которого выполняется теорема обратимости, то есть передаточное сопротивление входных и выходных контуров не зависит от того, какая пара зажимов входная, а какая выходная: U1/I2=U2/I1

Частные случаи четырёхполюсниковПравить

Идеальный трансформаторПравить

Идеальный трансформатор — это пассивный четырёхполюсник, описывающий формально модель трансформатора без учёта тока холостого хода и ферромагнитного сердечника. Математически это определяется системой уравнений, которая выглядит в H-форме (либо соответствующей ей матрицей):

${\begin{cases}U_{1}=h_{12}U_{2}\\I_{2}=h_{21}I_{1}\\\end{cases}};{\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&h_{12}\\h_{21}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}$ 

ГираторПравить

Основная статья: Гиратор

Гиратор — пассивный четырёхполюсник без потерь, преобразующий входной ток — в выходное напряжение, а входное напряжение — в обратный по знаку (инвертированный) выходной ток (инвертор положительного сопротивления). Математически это описывается системой, которая выглядит в Y-форме (либо соответствующей ей матрицей:

${\begin{cases}I_{1}=y_{12}U_{2}\\I_{2}=-y_{21}U_{1}\\\end{cases}};{\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&y_{12}\\-y_{21}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}$ 

Т.о. гиратор не поглощает и не накапливает энергию, преобразуя комплексное сопротивление нагрузки в сопротивление с обратным знаком и модулем, равным обратному соотношению:

$Z_{out}=\frac{1}{-<!--\; -\; -->Z_{in}{y}_{21}^2}$$Z_{out}={\frac {1}{-Z_{in}y_{21}^{2}}}$ 

НуллорПравить

Основная статья: Нуллор

Нуллор  — четырехполюсник, аномальный элемент, у которого входные ток и напряжение равны нулю, а выходные ток и напряжение принимают любые, не связанные друг с другом значения. Аномальные элементы используются в ряде случаев при анализе и синтезе электрических цепей.

См. такжеПравить

Двухполюсник

ЛитератураПравить

• Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. — М.: Высшая школа, 1978. — 528 с.
• Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. — М.: Высшая школа, 1996. — 638 с.
• Кисель В.А. Аналоговые и цифровые корректоры. — М.: Радио и связь, 1986. — 184 с.
• Бакалов В.П. Основы теории электрических цепей и электроники. — М.: Радио и связь, 1989. — 528 с. — ISBN 5-256-00265-1.