Чебышёвский альтернанс

Чебышёвский альтерна́нс (или просто альтерна́нс) (от фр. alternance — «чередование») — в математике такой набор точек $x_{1}<x_{2}<...<x_{N}$, в которых непрерывная функция одной переменной $g(x)$$g(x)$ последовательно принимает своё максимальное по модулю значение, при этом знаки функции в этих точках $g(x_1),$$g(x_{1}),$ $g(x_2),...,$$g(x_{2}),...,$ $g(x_N)$$g(x_{N})$ — чередуются.

Такая конструкция впервые встретилась в теореме о характеризации полинома наилучшего приближения, открытой П. Л. Чебышёвым в XIX веке. Сам термин альтернанс был введён И. П. Натансоном в 1950-е годы.

Теорема Чебышёва об альтернансеПравить

Чтобы многочлен $Q_n(x)$$Q_{n}(x)$  степени $n$$n$  был многочленом наилучшего равномерного приближения непрерывной функции $f(x)$$f(x)$ , необходимо и достаточно существования на $[a,b]$$[a,b]$  по крайней мере $n+2$$n+2$  точек $x_{0}<...<x_{{n+1}}$  таких, что

$f(x_i)-<!--\; -\; -->Q_n(x_i)=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(-<!--\; -\; -->1{)}^i||f-<!--\; -\; -->Q_n||$$f(x_{i})-Q_{n}(x_{i})=\alpha (-1)^{i}||f-Q_{n}||$ ,

где $i=0,...,n+1,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\pm <!--\; \pm \; -->1$$i=0,...,n+1,\alpha =\pm 1$  одновременно для всех $i$$i$ .

Точки $x_{0}<...<x_{{n+1}}$ , удовлетворяющие условиям теоремы, называются точками чебышёвского альтернанса.

Пример приближения функцииПравить

 

Иллюстрация

Допустим, что необходимо приблизить функцию квадратного корня с помощью линейной функции (многочлена первой степени) на интервале (1, 64). Из условия теоремы, нам необходимо найти $n+2$$n+2$  (в рассматриваемом случае — 3) точек чебышёвского альтернанса. Поэтому, в силу выпуклости разности квадратного корня и линейной функции, таковыми точками являются единственная точка экстремума этой разности и концы интервала, на котором происходит приближение функции. Обозначим $a=1,b=64$$a=1,b=64$ . $d$$d$  — точка экстремума. Тогда имеют место следующие уравнения:

$\sqrt{1}-<!--\; -\; -->({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1\times <!--\; \times \; -->1)=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}L$${\sqrt 1}-(\alpha _{0}+\alpha _{1}\times 1)=\alpha L$ 

$\sqrt{d}-<!--\; -\; -->({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1\times <!--\; \times \; -->d)=-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}L$${\sqrt d}-(\alpha _{0}+\alpha _{1}\times d)=-\alpha L$ 

$\sqrt{64}-<!--\; -\; -->({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1\times <!--\; \times \; -->64)=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}L$${\sqrt {64}}-(\alpha _{0}+\alpha _{1}\times 64)=\alpha L$ 

Здесь $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}L$$\alpha L$  — разности между значениями функции и многочлена. Вычитая первое уравнение из третьего, можно получить, что

${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1=\frac{1}{9}=0,(1)$$\alpha _{1}={\frac {1}{9}}=0,(1)$ 

Так как $d$$d$  — точка экстремума, а линейная функция и функция квадратного корня непрерывны и дифференцируемы, определить значение $d$$d$  можно из следующего уравнения:

$(\sqrt{x}{)}^{\prime }(d)-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1=0$$({\sqrt x})'(d)-\alpha _{1}=0$ 

Отсюда $d=20\frac{1}{4}=20,25$$d=20{\frac {1}{4}}=20,25$ 

Теперь можно вычислить ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0$$\alpha _{0}$ 

${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0=\frac{113}{72}=1,569(4)$$\alpha _{0}={\frac {113}{72}}=1,569(4)$ 

Следовательно, наилучшее линейное приближение функции $\sqrt{x}$${\sqrt {x}}$  на интервале от 1 до 64:

$\frac{1}{9}x+\frac{113}{72}$${\frac {1}{9}}x+{\frac {113}{72}}$ .

См. такжеПравить

• Алгоритм Ремеза
• Многочлены Чебышёва

ЛитератураПравить

• Бахвалов, Н. С.; Жидков, Н. П.; Кобельков, Г. Н. Численные методы
• Ульянов, М. В. Ресурсно-эффективные компьютерные алгоритмы.

СсылкиПравить

• Лекции А. М. Мацокина