Цилиндрические параболические координаты

Цилиндрические параболические координаты (координаты параболического цилиндра) $(u,v,z)$$(u,\;v,\;z)$ — система координат, обобщающая параболические координаты на трёхмерный случай путём добавления третьей (декартовой) координаты $z$$\ z$, то есть аппликаты.

Координатные поверхности в координатах параболического цилиндра.

Существует несколько вариантов ориентации этих координат. Наиболее распространённой является ориентация, соответствующая

$\{\begin{array}{l}x=\frac{c}{2}(u^2-<!--\; -\; -->v^2),\\ y=cuv,\\ z=z,\end{array}$${\begin{cases}x={\dfrac {c}{2}}(u^{2}-v^{2}),\\y=cuv,\\z=z,\end{cases}}$

где $c>0$$c>0$ — размерный множитель.

Поверхности уровня $u=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$$u=\mathrm {const}$ и $v=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$$v=\mathrm {const}$ суть параболические цилиндры, образующие которых параллельны оси $z$$z$.

Связь с другими системами координатПравить

Прямоугольная система координат $(x,y,z)$$(x,\;y,\;z)$ Править

$\{\begin{array}{l}x=\frac{c}{2}(u^2-<!--\; -\; -->v^2),\\ y=cuv,\\ z=z,\end{array}$${\begin{cases}x={\dfrac {c}{2}}(u^{2}-v^{2}),\\y=cuv,\\z=z,\end{cases}}$ 

Цилиндрическая система координат $(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->},\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->},z)$$(\rho ,\;\varphi ,\;z)$ Править

$\{\begin{array}{l}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\frac{c}{2}(u^2+v^2),\\ \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{2uv}{u^2-<!--\; -\; -->v^2}\right),\\ z=z.\end{array}$${\begin{cases}\rho ={\dfrac {c}{2}}(u^{2}+v^{2}),\\\varphi =\mathrm {arctg} \left({\dfrac {2uv}{u^{2}-v^{2}}}\right),\\z=z.\end{cases}}$ 

Коэффициенты ЛамеПравить

Коэффициенты Ламе в данных координатах имеют следующий вид:

$\{\begin{array}{l}{H}_u=c\sqrt{u^2+v^2},\\ H_v=c\sqrt{u^2+v^2},\\ H_z=1.\end{array}$${\begin{cases}H_{u}=c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}},\\H_{v}=c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}},\\H_{z}=1.\end{cases}}$ 

Выражение основных дифференциальных операторовПравить

ГрадиентПравить

$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}F(u,v,z)=\frac{1}{c\sqrt{u^2+v^2}}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}F}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_u+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}F}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}v}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_v\right)+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}F}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_z.$$\mathrm {grad} \,F(u,\;v,\;z)={\frac {1}{c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}\left({\frac {\partial F}{\partial u}}{\vec {e}}_{u}+{\frac {\partial F}{\partial v}}{\vec {e}}_{v}\right)+{\frac {\partial F}{\partial z}}{\vec {e}}_{z}.$ 

ДивергенцияПравить

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{A}(u,v,z)=\frac{1}{c(u^2+v^2)}\left[\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}\left(\sqrt{u^2+v^2}{A}_u\right)+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}v}\left(\sqrt{u^2+v^2}{A}_v\right)\right]+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{A}_z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}.$$\mathrm {div} {\vec {A}}(u,\;v,\;z)={\frac {1}{c(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial }{\partial u}}\left({\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{u}\right)+{\frac {\partial }{\partial v}}\left({\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{v}\right)\right]+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}.$ 

РоторПравить

$\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{A}=\frac{1}{c\sqrt{u^2+v^2}}\left[\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}v}{A}_z-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}(c\sqrt{u^2+v^2}{A}_v)\right]{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_u+\frac{1}{c\sqrt{u^2+v^2}}\left[\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}(c\sqrt{u^2+v^2}{A}_u)-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{A}_z\right]{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_v+$$\mathrm {rot} \,{\vec {A}}={\frac {1}{c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial v}}A_{z}-{\frac {\partial }{\partial z}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{v})\right]{\vec {e}}_{u}+{\frac {1}{c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial z}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{u})-{\frac {\partial }{\partial u}}A_{z}\right]{\vec {e}}_{v}+$ 

$+\frac{1}{c(u^2+v^2)}\left[\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}(c\sqrt{u^2+v^2}{A}_v)-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}v}(c\sqrt{u^2+v^2}{A}_u)\right]{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_z.$$+{\frac {1}{c(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial }{\partial u}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{v})-{\frac {\partial }{\partial v}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{u})\right]{\vec {e}}_{z}.$ 

ЛапласианПравить

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}F(u,v,z)=\frac{1}{c^2(u^2+v^2)}\left[\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}F}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}F}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{v}^2}\right]+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}F}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}^2}.$$\Delta F(u,\;v,\;z)={\frac {1}{c^{2}(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial ^{2}F}{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial v^{2}}}\right]+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}.$ 

См. такжеПравить

• Прямоугольная (Декартова) система координат
• Аффинная (косоугольная) система координат
• Координаты Риндлера — в пространстве Минковского
• Барицентрические координаты
• Биангулярные координаты
• Полярная система координат
• Цилиндрическая система координат
• Сферическая система координат
• Тороидальная система координат
• Цилиндрические параболические координаты
• Параболические координаты
• Бицентрические координаты
• Биполярные координаты
• Бицилиндрические координаты
• Биангулярные координаты
• Трилинейные координаты
• Проективные координаты
• Эллипсоидальные координаты (эллиптические координаты)
• Конические координаты

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Parabolic Cylindrical Coordinates (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.