Цепь (алгебраическая топология)

Цепь в алгебраической топологии и дифференциальной геометрии — конструкция, обобщающее понятие многоугольника, используется для определения гомологий пространства и интегрирования дифференциальных форм на нём.

ОпределениеПравить

Криволинейным симплексом называется дважды непрерывно дифференцируемое невырожденное отображение симплекса $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=[p_0,\dots <!--\; \dots \; -->,p_n]$$\gamma =[p_{0},\ldots ,p_{n}]$  в евклидовом пространстве в топологическое пространство $M$$M$ .

Цепью называется элемент свободного модуля над кольцом целых чисел, порождённого множеством симплексов данного топологического пространства, то есть формальная сумма

$\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}=k_1{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+k_n{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_n,k_i\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z},n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$\sigma =k_{1}\sigma _{1}+\dots +k_{n}\sigma _{n},~k_{i}\in \mathbb {Z} ,\,n\in \mathbb {N}$ 

Число $k_i$$k_i$  называется кратностью симплекса ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i$$\sigma_i$ . Сумма цепей определяется как сумма элементов модуля.

Граница $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i$$\partial \sigma _{i}$  криволинейного симплекса ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i$$\sigma_i$  определяется как образ границы симплекса ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_i$$\gamma _{i}$  под действием отображения ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i$$\sigma_i$ . На произвольные цепи граничный оператор продолжается по линейности, то есть

$\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}=k_1\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+k_n\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_n$$\partial \sigma =k_{1}\partial \sigma _{1}+\dots +k_{n}\partial \sigma _{n}$ 

Связанные определенияПравить

• Цикл — это цепь, граница которой равна нулю.

ЛитератураПравить

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.