Цепочка уравнений Боголюбова

Цепочка уравнений Боголюбова (цепочка ББГКИ, иерархия ББГКИ, цепочка уравнений Боголюбова — Борна — Грина — Кирквуда — Ивона) — система уравнений эволюции системы, состоящей из большого числа тождественных взаимодействующих частиц, заключенных в некотором объёме $V$$V$. Последовательность уравнений ББГКИ выражает эволюцию s-частичной функции распределения через (s+1)-частичную функцию распределения. Названа в честь Боголюбова, Борна, Грина, Кирквуда и Ивона (фр.) (Yvon).

ФормулировкаПравить

Рассмотрим систему из $N$$N$  частиц с парным взаимодействием, находящуюся во внешнем поле. Пусть ${\mathbf{q}}_i,{\mathbf{p}}_i$$\mathbf {q} _{i},\mathbf {p} _{i}$  — обобщенные координаты и импульсы i-ой частицы, ${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^{ext}({\mathbf{q}}_i)$$\Phi ^{ext}(\mathbf {q} _{i})$  — потенциал взаимодействия с внешнем полем, ${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_{ij}({\mathbf{q}}_i,{\mathbf{q}}_j)$$\Phi _{ij}(\mathbf {q} _{i},\mathbf {q} _{j})$  — потенциал (парного) взаимодействия частиц. Функция распределения полной системы $f_N=f_N({\mathbf{q}}_1\dots <!--\; \dots \; -->{\mathbf{q}}_N,{\mathbf{p}}_1\dots <!--\; \dots \; -->{\mathbf{p}}_N,t)$$f_{N}=f_{N}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{N},t)$  удовлетворяет уравнению Лиувилля

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}_N}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+\underset{i=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\stackrel{\mathbf{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}}{\mathbf{q}}}_i\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}_N}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathbf{q}}_i}+\underset{i=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left(-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_i^{ext}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathbf{q}}_i}-<!--\; -\; -->\underset{j=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_{ij}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathbf{q}}_i}\right)\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}_N}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathbf{p}}_i}=0$${\frac {\partial f_{N}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{N}\mathbf {\dot {q}} _{i}{\frac {\partial f_{N}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}+\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\partial \Phi _{i}^{ext}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}-\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial \Phi _{ij}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}\right){\frac {\partial f_{N}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=0$ 

Рассматриваемая цепочка уравнений получается последовательным интегрированием уравнения Лиувилля по части переменных. В результате уравнение для s-частичной функции распределения $f_s=f_s({\mathbf{q}}_1\dots <!--\; \dots \; -->{\mathbf{q}}_s,{\mathbf{p}}_1\dots <!--\; \dots \; -->{\mathbf{p}}_s,t)$$f_{s}=f_{s}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{s},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{s},t)$  имеет вид:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}_s}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+\underset{i=1}{\overset{s}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\stackrel{\mathbf{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}}{\mathbf{q}}}_i\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}_s}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathbf{q}}_i}+\underset{i=1}{\overset{s}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left(-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_i^{ext}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathbf{q}}_i}-<!--\; -\; -->\underset{j=1}{\overset{s}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_{ij}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathbf{q}}_i}\right)\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}_s}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathbf{p}}_i}=\underset{i=1}{\overset{s}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left(N-<!--\; -\; -->s\right)\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathbf{p}}_i}\int <!--\; \int \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_{is+1}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathbf{q}}_i}{f}_{s+1}d{\mathbf{q}}_{s+1}d{\mathbf{p}}_{s+1}$${\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{s}\mathbf {\dot {q}} _{i}{\frac {\partial f_{s}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}+\sum _{i=1}^{s}\left(-{\frac {\partial \Phi _{i}^{ext}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}-\sum _{j=1}^{s}{\frac {\partial \Phi _{ij}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}\right){\frac {\partial f_{s}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=\sum _{i=1}^{s}\left(N-s\right){\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} _{i}}}\int {\frac {\partial \Phi _{is+1}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}f_{s+1}\,d\mathbf {q} _{s+1}d\mathbf {p} _{s+1}$ 

ПрименениеПравить

Полученная цепочка зацепляющихся уравнений эквивалентна исходному уравнению Лиувилля и тем самым не описывает необратимость. К тому же, сложность её решения совпадает со сложностью решения уравнения Лиувилля. Однако при её обрыве и некоторых дополнительных предположениях симметричность по времени исчезает, как например при получении из цепочки ББГКИ классических и квантовых кинетических уравнений, и в частности, уравнения Больцмана. Подобные упрощения делают иерархию ББГКИ отправной точкой для многих кинетических теорий.

ЛитератураПравить

• Боголюбов Н. Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. — М.: Изд-во Гостехиздат, 1946. — 120 с.
• Боголюбов Н. Н. Избранные труды по статистической физике. — М.: Изд-во МГУ, 1979.
• Боголюбов Н. Н. Собрание научных трудов: в 12-ти тт. — М.: Наука, 2006. — Т. 5: Неравновесная статистическая механика, 1939—1980. — ISBN 5020341428.
• Гуров К. П. Основания кинетической теории (метод Н. Н. Боголюбова). — М.: Наука, 1966. — 352 с.
• Шелест А. В. Метод Боголюбова в динамической теории кинетических уравнений. — М.: Наука, 1990. — 159 с. — ISBN 5020140309.

См. такжеПравить

• Уравнение Лиувилля
• Уравнение Больцмана
• Уравнение Власова
• Уравнение Фоккера — Планка