Целозначный многочлен

Целозначный многочлен — многочлен, принимающий целые значения для целого аргумента.

Целозначный многочлен не обязательно имеет целые коэффициенты: например, $p(n)=\frac{n(n+1)}{2}$$p(n)={\frac {n(n+1)}{2}}$ целозначен, поскольку одно из чисел $n$$n$ и $n+1$$n+1$ чётно.

Порождающие целозначные многочленыПравить

Целозначные многочлены одной переменной степени не выше $d$$d$  образуют свободную абелеву группу $I_d={\mathbb{Z}}^{d+1}$$I_{d}=\mathbb {Z} ^{d+1}$  на $d+1$$d+1$  образующих. Например, ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_k=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{k})$$\gamma _{k}={\tbinom {n+k}{k}}$  для $k=0,...,d$$k=0,...,d$  (то есть ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_0=1$$\gamma _{0}=1$ , ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_1=n+1$$\gamma _{1}=n+1$ , ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_2=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$$\gamma _{2}={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}$  и т. д.) или $S_k=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{d})$$S_{k}={\tbinom {n+k}{d}}$  для $k=0,...,d$$k=0,...,d$ , где $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{k})$${\tbinom {n+k}{k}}$  — биномиальные многочлены.

Связь с алгебраической геометриейПравить

Пусть $K_0({\mathbb{P}}^d)$$K_{0}(\mathbb {P} ^{d})$  — группа Гротендика проективного пространства размерности $d$$d$ , то есть абелева группа, порождённая классами $[E]$$[E]$  векторных расслоений $E$$E$  и соотношениями $[E\oplus <!--\; \oplus \; -->F]=[E]+[F]$$[E\oplus F]=[E]+[F]$ ; в частности, изоморфная ${\mathbb{Z}}^{d+1}$$\mathbb {Z} ^{d+1}$ . Построим отображение $f:K_0({\mathbb{P}}^d)\to <!--\; \to \; -->I_d$$f:K_{0}(\mathbb {P} ^{d})\to I_{d}$ , отправляющее расслоение $V$$V$  в его многочлен Гильберта $\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(V(n))$$\chi (V(n))$ , где $\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}$$\chi$  — эйлерова характеристика векторного расслоения как когерентного пучка. Тогда $f(\mathcal{O}{|}_{{\mathbb{P}}^k})={\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_k$$f({\mathcal {O}}|_{\mathbb {P} ^{k}})=\gamma _{k}$  и $f(\mathcal{O}(k))=S_k$$f({\mathcal {O}}(k))=S_{k}$ , то есть стандартные целочисленные многочлены имеют ясный геометрический смысл.

СсылкиПравить

• Pólya, G. (1915), Über ganzwertige ganze Funktionen, Palermo Rend. Т. 40: 1–16, ISSN 0009-725X