Хронологическое упорядочение

В квантовой теории поля вводится операция хронологического произведения или хронологического упорядочения операторов. Эта операция обозначается $\mathcal{T}$${\mathcal {T}}$ и для двух операторов $A(x)$$A(x)$ и $B(y)$$B(y)$, которые зависят от координат и времени, определяется следующим образом:

${\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:={\begin{cases}A(x)B(y)&{\text{if }}x_{0}>y_{0},\\\pm B(y)A(x)&{\text{if }}x_{0}<y_{0}.\end{cases}}$

где $x_0$$x_{0}$ и $y_0$$y_0$-временные компоненты векторов $x$$x$ и $y$$y$.

Иначе можно записать:

$\mathcal{T}\left\{A(x)B(y)\right\}:=\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(x_0-<!--\; -\; -->y_0)A(x)B(y)\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(y_0-<!--\; -\; -->x_0)B(y)A(x),$${\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:=\theta (x_{0}-y_{0})A(x)B(y)\pm \theta (y_{0}-x_{0})B(y)A(x),$

где $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$- функция Хевисайда, а знак $\pm <!--\; \pm \; -->$$\pm$ зависит от природы оператора: в бозонном случае знак всегда +, в фермионном знак зависит от чётности перестановки операторов, необходимой для правильного порядка: увеличение временного аргумента происходит справа налево.

Поскольку операторы зависят от координат, операция временного упорядочения независима от координат только в случае, если операторы в точках, разделённых пространственно-подобным интервалом, коммутируют.

В общем случае, для произведения n операторов поля A₁(t₁), …, A_n(t_n) $\mathcal{T}$${\mathcal {T}}$-упорядочение произведения операторов определяется по формуле:

$\mathcal{T}\{A_1(t_1)A_2(t_2)\cdots <!--\; \cdots \; -->A_n(t_n)\}=\underset{p}{\sum <!--\; \sum \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(t_{p_1}>t_{p_2}>\cdots <!--\; \cdots \; -->>t_{p_n})\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}(p)A_{p_1}(t_{p_1})A_{p_2}(t_{p_2})\cdots <!--\; \cdots \; -->A_{p_n}(t_{p_n})$${\mathcal {T}}\{A_{1}(t_{1})A_{2}(t_{2})\cdots A_{n}(t_{n})\}=\sum _{p}\theta (t_{p_{1}}>t_{p_{2}}>\cdots >t_{p_{n}})\varepsilon (p)A_{p_{1}}(t_{p_{1}})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})$

где суммирование идёт по всем p и по симметрической группе перестановок n-го порядка. Для бозонных операторов $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}(p)=1$$\varepsilon (p)=1$, для фермионных $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}(p)=(-<!--\; -\; -->1{)}^k$$\varepsilon (p)=(-1)^{k}$, где k-чётность перестановки.

ЛитератураПравить

• Биленький С.М. Введение в диаграммную технику Фейнмана. — Рипол Классик, 2013. — С. 74. — 222 с.