Перестройка Морса

Хирургия или перестройка Морса — преобразование гладких многообразий, которому подвергается многообразие уровня гладкой функции при переходе через невырожденную критическую точку; важнейшая конструкция в дифференциальной топологии.

Важная роль хирургии в топологии многообразий объясняется тем, что они позволяют «деликатно» (не нарушая тех или иных свойств многообразия) уничтожать «лишние» гомотопические группы (обычно используемая с этой целью в теории гомотопий операция «приклеивания клетки» мгновенно выводит из класса многообразий). Практически все теоремы классификации структур на многообразиях основываются на изучении вопроса, когда для отображения $f:M\to <!--\; \to \; -->X$$f:M\to X$ замкнутого многообразия $M$$M$ в клеточное пространство $X$$X$ существуют такой бордизм $(W;M,N)$$(W;M,N)$ и такое отображение $F:W\to <!--\; \to \; -->X$$F:W\to X$, что $F{|}_M=f$$F|_{M}=f$, а $F{|}_N:\to <!--\; \to \; -->X$$F|_{N}:\to X$ является гомотопической эквивалентностью. Естественный путь решения этой задачи состоит в том, чтобы последовательностью хирургий уничтожить ядра гомоморфизмов $f^{\ast <!--\; \ast \; -->}:{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_k(M)\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_k(X)$$f^{*}:\pi _{k}(M)\to \pi _{k}(X)$ (где ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_k$$\pi _{k}$ — гомотопические группы). Если это удаётся, то результирующее отображение будет гомотопической эквивалентностью. Изучение соответствующих препятствий (лежащих в т. н. группах Уолла) явилось одним из главнейших стимулов в развитии алгебраической L-теории^[en].

КонструкцияПравить

Пусть $V$$V$  — гладкое $n$$n$ -мерное многообразие (без края), в которое (гладко) вложена $(k-<!--\; -\; -->1)$$(k-1)$ -мерная сфера $S^{k-<!--\; -\; -->1}$$S^{k-1}$ . Предположим, что нормальное расслоение сферы $S^{k-<!--\; -\; -->1}$$S^{k-1}$  в многообразии $V$$V$  тривиально, то есть что замкнутая трубчатая окрестность $T$$T$  сферы $S^{k-<!--\; -\; -->1}$$S^{k-1}$  в $V$$V$  разлагается в прямое произведение $T=S^{k-<!--\; -\; -->1}\times <!--\; \times \; -->D^{n-<!--\; -\; -->k+1}$$T=S^{k-1}\times D^{n-k+1}$ , где $D^{n-<!--\; -\; -->k+1}$$D^{n-k+1}$  — диск размерности $n-<!--\; -\; -->k+1$$n-k+1$ . Выбрав такое разложение, вырежем из $V$$V$  внутренность окрестности $T$$T$ . Получится многообразие, край которого разложен в произведение $S^{k-<!--\; -\; -->1}\times <!--\; \times \; -->S^{n-<!--\; -\; -->k}$$S^{k-1}\times S^{n-k}$  сфер. Точно такой же край имеет многообразие $D^k\times <!--\; \times \; -->S^{n-<!--\; -\; -->k}$$D^{k}\times S^{n-k}$ . Отождествив края этих многообразий по диффеоморфизму, сохраняющему структуру прямого произведения снова получим многообразие $V^{\prime }$$V'$  без края, которое и называется результатом хирургии многообразия $V$$V$  вдоль сферы $S^{k-<!--\; -\; -->1}$$S^{k-1}$ .

Для осуществления хирургии необходимо задать разложение окрестности $T$$T$  сферы $S^{k-<!--\; -\; -->1}$$S^{k-1}$  в прямое произведение, то есть тривиализацию нормального расслоения сферы $S^{k-<!--\; -\; -->1}$$S^{k-1}$  в многообразии $V$$V$ , при этом разные тривиализации (оснащения) могут давать существенно различные (даже гомотопически) многообразия $V^{\prime }$$V'$ .

Число $k$$k$  называется индексом хирургии, а пара $(k,n-<!--\; -\; -->k+1)$$(k,n-k+1)$  её типом. Если $V^{\prime }$$V'$  получается из $V$$V$  хирургией типа $(i,j)$$(i, j)$ , то $V$$V$  получается из $V^{\prime }$$V'$  хирургией типа $(j,i)$$(j,i)$ . При $k=0$$k=0$  многообразие $V^{\prime }$$V'$  является дизъюнктным объединением многообразия $V$$V$  (которое может быть в этом случае пустым) и сферы $S^n$$S^{n}$ .

ПримерыПравить

• При $V=S^2$$V=S^{2}$  и $k=2$$k=2$  в результате хирургии получается дизъюнктное объединение двух сфер, а при $k=1$$k=1$  — тор.
• При $V=S^3$$V=S^{3}$  и $k=2$$k=2$  получается произведение $S^1\times <!--\; \times \; -->S^2$$S^{1}\times S^{2}$ .
• Случай $V=S^3$$V=S^{3}$  и $k=1$$k=1$  сложнее: если сфера $S^1$$S^{1}$  вложена в $S^3$$S^{3}$  стандартным образом (большая окружность), то в зависимости от выбора её тривиализации нормального расслоения получаются линзовые пространства; если же допустить заузливание сферы $S^1$$S^{1}$ , то получается ещё больший набор трёхмерных многообразий.

СвойстваПравить

• Если $V$$V$  является краем $(n+1)$$(n+1)$ -мерного многообразия $M$$M$ , то $V^{\prime }$$V'$  будет краем многообразия $M^{\prime }$$M'$ , полученного из $M$$M$  приклеиванием ручки индекса $k$$k$ .
  • В частности, если $f$$f$  — гладкая функция на многообразии $M$$M$  и $a<b$  — такие числа, что множество $f^{-<!--\; -\; -->1}([a,b])$$f^{{-1}}([a,b])$  компактно и содержит единственную критическую точку $p$$p$ , которая невырождена, то многообразие $V_b=f^{-<!--\; -\; -->1}(b)$$V_{b}=f^{-1}(b)$  получается из многообразия $V_a=f^{-<!--\; -\; -->1}(a)$$V_{a}=f^{-1}(a)$  хирургией индекса $k$$k$ , где $k$$k$  — индекс Морса критической точки $p$$p$ .
  • Более общим образом, любая перестройка $V^{\prime }$$V'$  многообразия $V$$V$  индекса $k$$k$  определяет некоторый бордизм $(W;V,V^{\prime })$$(W;V,V')$ , и на триаде $(W;V,V^{\prime })$$(W;V,V')$  существует
• функция Морса, обладающая единственной критической точкой индекса $k$$k$ , причем любой бордизм $(W;V,V^{\prime })$$(W;V,V')$ , на котором существует такого рода функция Морса, получается этим способом.
  • Отсюда (и из существования на триадах функций Морса) следует, что два многообразия тогда и только тогда бордантны, когда одно из них получается из другого конечной последовательностью хирургий.
• При известных предосторожностях в обращении с ориентациями результат хирургии ориентированного многообразия будет снова ориентированным многообразием.

Вариации и обобщенияПравить

• Конструкция хирургии может быть проведена также для кусочно-линейных и топологических многообразий.