Хвост распределения

Хвост распределе́ния — участок графика плотности статистического распределения $f(x)$$f(x)$, отвечающий стремлению непрерывной случайной величины $x$$x$ к плюс или минус бесконечности и в целом характеризующийся уменьшением значений $f(x)$$f(x)$ с ростом $|x|$$|x|$, на которое могут накладываться особенности. Форма фигуры, ограничиваемой указанным участком и осью абсцисс, напоминает вытянутый хвост животного. Граница хвоста $x_{L|R}$$x_{L|R}$ выбирается субъективно. Под хвостом понимается также диапазон изменения $x$$x$, соответствующий хвосту в графическом смысле (то есть $[x_R;+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$[x_{R};\,+\infty )$ или $(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->};x_L]$$(-\infty ;\,x_{L}]$). Если величина $x$$x$ изменяется в конечных пределах, то хвостов у $f$$f$ нет.

Пример графика плотности распределения; хвосты закрашены.

При больших по модулю значениях величины $x$$x$ плотность распределения $f(x)$$f(x)$ во многих практических ситуациях спадает по экспоненциальному закону $f(x)\sim <!--\; \sim \; -->\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->a|x|)$$f(x)\sim \exp(-a|x|)$ или быстрее (здесь $a=$$a=\,$const > 0). Например, для $x\to <!--\; \to \; -->\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$x\to \pm \infty$ при нормальном распределении и при $x\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$x\to +\infty$ для распределения Максвелла убывание $f$$f$ происходит как $f(x)\sim <!--\; \sim \; -->\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->a{x}^2)$$f(x)\sim \exp(-a\,x^{2})$. Но встречаются и ситуации так называемых «тяжёлых» хвостов, когда спад идёт медленнее, чем $\sim <!--\; \sim \; -->\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->a|x|)$$\sim \exp(-a|x|)$.

Обычно хвост(ы) распределения малозначим(ы) для нормировки, то есть при вычислении интеграла ${\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}f(x)dx$$\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$ хвостовой вклад пренебрежим. Однако существование хвостов может оказаться весьма принципиальным при более сложных вычислениях, например выражений типа ${\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}g(x)f(x)dx$$\int _{-\infty }^{+\infty }g(x)f(x)dx$, где $g(x)$$g(x)$ — некая функция, нарастающая при увеличении $|x|$$|x|$. Пример крайне высокой значимости хвостов даёт распределение популяции горячих электронов в твердотельных приборах: в таком случае роль $x$$x$ играет энергия электрона $E$$E$ ($E>0$$E>0$). Величина плотности $f$$f$ на хвосте при высоких $E$$E$ мала, поскольку электронов с такими энергиями почти нет, но оказывается, что именно эти немногочисленные электроны ответственны за деградацию прибора.