Характер группы

Хара́ктер — мультипликативная комплекснозначная функция на группе. Иначе говоря, если $G$$G$ — группа, то характер — это гомоморфизм из $G$$G$ в мультипликативную группу поля (обычно поля комплексных чисел).

Иногда рассматриваются только унитарные характеры — гомоморфизмы в мультипликативную группу поля, образ которых лежит на единичной окружности, или, в случае комплексных чисел, гомоморфизмы в $U(1)$$U(1)$. Все прочие гомоморфизмы в $k^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$k^{*}$ называются в таком случае квазихарактерами.

Связанные определенияПравить

• Характер топологической группы определяется как непрерывный гомоморфизм в мультипликативную группу поля. Соответственно, характер алгебраической группы — это рациональный гомоморфизм в $k^{\ast <!--\; \ast \; -->}.$$k^{*}.$ 

• Характер представления группы — близкое определение для представлений групп, элемент отображается в след своего представления.

СвойстваПравить

• Для произвольной группы $G$$G$  множество характеров $\mathrm{C}\mathrm{h}(G)$${\mathrm {Ch}}(G)$  образует абелеву группу с операцией

  ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_a\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_b={\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{ab}.$$\chi _{a}\cdot \chi _{b}=\chi _{{ab}}.$ 

  • Эту группу называют группой характеров.

• Характеры линейно независимы, то есть если ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_1,{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_n$$\chi _{1},\chi _{2},\ldots ,\chi _{n}$  — различные характеры группы G, то из равенства $a_1{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_1+a_2{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_n=0$$a_{1}\chi _{1}+a_{2}\chi _{2}+\cdots +a_{n}\chi _{n}=0$  следует, что $a_1=a_2=\cdots <!--\; \cdots \; -->=a_n=0.$$a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=0.$ 

Характеры в U(1)Править

Основная статья: Характер (теория чисел)

Важным частным случаем характеров являются отображения в группу комплексных чисел, равных по модулю единице. Такие характеры имеют вид $\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(a)=e^{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(a)i}$$\chi (a)=e^{2\pi \varphi (a)i}$ , где $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}:G\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R},\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a,b\in <!--\; \in \; -->(G,\circ <!--\; \circ \; -->):\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(a)+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(b)=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(a\circ <!--\; \circ \; -->b)$$\varphi :G\to {\mathbb {R} },\ \forall a,b\in (G,\circ ):\ \varphi (a)+\varphi (b)=\varphi (a\circ b)$ , и широко изучаются в теории чисел в связи с распределением простых чисел в бесконечных арифметических прогрессиях. В этом случае изучаемой группой является кольцо вычетов ${\mathbb{Z}}_n$${\mathbb {Z} }_{n}$  с операцией сложения, а функция $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  линейна. При этом множество различных значений линейного коэффициента в функции $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  определяет группу характеров, изоморфную группе ${\mathbb{Z}}_n$${\mathbb {Z} }_{n}$ .

Пример

Рассмотрим ${\mathbb{Z}}_3=\left\{[0],[1],[2]\right\}$${\mathbb {Z} }_{3}=\left\lbrace {[0],[1],[2]}\right\rbrace$ 

Для $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=0,1,2$$\lambda =0,1,2$  определим

${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}(x)=e^{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}x}{3}i}$$\chi _{\lambda }(x)=e^{2\pi {\frac {\lambda x}{3}}i}$ 

Множество $\left\{{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_0,{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_1,{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_2\right\}$$\left\lbrace {\chi _{0},\chi _{1},\chi _{2}}\right\rbrace$  с операцией поточечного умножения образует группу характеров в $U(1)$$U(1)$ . Нейтральным элементов этой группы является ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_0$$\chi_0$ , поскольку $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{Z}}_3:{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_0(x)=e^{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\frac{0\cdot <!--\; \cdot \; -->x}{i}}=e^0=1$$\forall x\in {\mathbb {Z} }_{3}:\ \chi _{0}(x)=e^{2\pi {\frac {0\cdot x}{i}}}=e^{0}=1$ .

Классическим примером использования характеров по модулю является теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.

Для бесконечных циклических групп, изоморфных $\mathbb{Z}$${\mathbb {Z} }$ , будет существовать бесконечное множество характеров вида ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(n)=e^{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}i}$${\chi _{\alpha }}(n)=e^{2\pi n\alpha i}$ , где $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->(0;1)$$\alpha \in (0;1)$ .

Характеры конечнопорождённых группПравить

Для произвольной конечнопорождённой абелевой группы $(G,\circ <!--\; \circ \; -->)$$(G,\circ )$  также можно явно и конструктивно описать множество характеров в $U(1)$$U(1)$ . Для этого используется теорема о разложении такой группы в прямое произведение циклических групп.

Поскольку любая циклическая группа порядка $h$$h$  изоморфна группе ${\mathbb{Z}}_h$${\mathbb {Z} }_{h}$  и её характеры в $U(1)$$U(1)$  всегда отображаются во множество $\left\{e^{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\frac{k}{h}i}:k=0,\dots <!--\; \dots \; -->,h-<!--\; -\; -->1\right\}$$\left\lbrace {e^{2\pi {\frac {k}{h}}i}:\ k=0,\dots ,h-1}\right\rbrace$ , то для группы, представленной прямым произведением $G=G_1\otimes <!--\; \otimes \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\otimes <!--\; \otimes \; -->G_s$$G=G_{1}\otimes \dots \otimes G_{s}$ , циклических групп $G_{i}=\left\lbrace {{g_{i}}^{k}\ :\ 0\leq k<n_{i}}\right\rbrace$ , можно параметризовать характер как произведение характеров циклических этих циклических групп:

$\chi _{k_{1},\dots ,k_{s}}(x)=e^{2\pi {\frac {k_{1}}{n_{1}}}}\cdot e^{2\pi {\frac {k_{s}}{n_{s}}}}=e^{2\pi ({\frac {k_{1}}{n_{1}}}+\dots +{\frac {k_{s}}{n_{s}}})},0\leq k_{i}<n_{i}$ 

Это позволяет провести явный изоморфизм между самой группой $G$$G$  и группой её характеров, равной ей по количеству элементов.

${g_1}^{k_1}\circ <!--\; \circ \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\circ <!--\; \circ \; -->{g_s}^{k_s}\mapsto <!--\; \mapsto \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{k_1,\dots <!--\; \dots \; -->,k_s}$${g_{1}}^{k_{1}}\circ \dots \circ {g_{s}}^{k_{s}}\mapsto \chi _{k_{1},\dots ,k_{s}}$ 

Свойства характеров конечных группПравить

Для $g\in <!--\; \in \; -->G$$g\in G$  обозначим через ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_g:G\to <!--\; \to \; -->U(1)$$\chi _{g}:G\to U(1)$  характер, соответствующий элементу $g$$g$  по описанной выше схеме.

Справедливы следующие тождества:

$\sum \limits _{g\in G}{\chi (g)}=\left\lbrace {\begin{matrix}0,&\chi \not =\chi _{0}\\|G|,&\chi =\chi _{0}\end{matrix}}\right.$ 

$\sum \limits _{x\in G}{\chi _{g}(x)}=\left\lbrace {\begin{matrix}0,&x\not =0\\|G|,&x=0\end{matrix}}\right.$ 

Вариации и обобщенияПравить

Если $A$$A$  — ассоциативная алгебра над полем $k$$k$ , характер $A$$A$  — это ненулевой гомоморфизм алгебры $A$$A$  в $k$$k$ . Если при этом $A$$A$  — звёздная алгебра,^{[уточнить]} то характер является звёздным гомоморфизмом в комплексные числа.

См. такжеПравить

• Двойственность Понтрягина

ЛитератураПравить

• Кириллов А. А. Элементы теории представлений. — 2-е. — М.: Наука, 1978. — 343 с.
• Наймарк М. А. Теория представления групп. — М., 1978. — 560 с.