Характер кубического вычета

Характер кубического вычета — теоретико-числовая функция двух аргументов, являющаяся частным случаем символа степенного вычета^[en]. Также является характером в простом поле.

Характер кубического вычета является аналогом символа Лежандра, и для его вычисления используется кубический закон взаимности, являющийся аналогом квадратичного закона взаимности.

ОпределениеПравить

Пусть

$\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\frac{1}{2}(-<!--\; -\; -->1+i\sqrt{3})=e^{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i/3}$$\omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi i/3}$  -

кубический корень из единицы.

Рассмотрим D=Z[w] — кольцо чисел Эйзенштейна, то есть чисел вида

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=a+b\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\alpha =a+b\,\omega$ ,

где a и b — целые числа.

Пусть $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  — простое в кольце D с нормой $N(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})$$N(\pi )$ , такое что $N(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})\ne <!--\; \ne \; -->3$$N(\pi )\neq 3$ . В этом случае $N(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})-<!--\; -\; -->1$$N(\pi )-1$  делится на 3. Определим характер кубического вычета следующим образом:

• ${\left(\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\right)}_3=0$$\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=0$ , если $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  делится на $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ .
• ${\left(\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\right)}_3={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{(N(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})-<!--\; -\; -->1)/3}\mathrm{mod}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=\alpha ^{(N(\pi )-1)/3}\mod \pi$  иначе.

Заметим, что при $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ , не делящем $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  , значение характера кубического вычета принимает одно из трёх значений: $\{1,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2\}$$\{1,\ \omega ,\ \omega ^{2}\}$ .

Кубический закон взаимностиПравить

Назовём $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  примарным, если оно является простым в D и сравнимо с 2 по модулю 3. Пусть $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  и $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$  — примарные, тогда

${\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\right)}_3={\left(\frac{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\right)}_3$$\left({\frac {\pi }{\theta }}\right)_{3}=\left({\frac {\theta }{\pi }}\right)_{3}$

Другие свойства характера кубического вычетаПравить

• ${\left(\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\right)}_3=1$$\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=1$  тогда и только тогда, когда сравнение $x^3\equiv <!--\; \equiv \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{mod}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$x^{3}\equiv \alpha \mod {\pi }$  разрешимо в Z[ω], то есть тогда и только тогда, когда $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  — кубический вычет
• Мультипликативность: ${\left(\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\right)}_3={\left(\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\right)}_3\cdot <!--\; \cdot \; -->{\left(\frac{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\right)}_3$$\left({\frac {\alpha \beta }{\pi }}\right)_{3}=\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}\cdot \left({\frac {\beta }{\pi }}\right)_{3}$ 
• Периодичность: если $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\equiv <!--\; \equiv \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{mod}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\alpha \equiv \beta \mod {\pi }$ , то ${\left(\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\right)}_3={\left(\frac{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\right)}_3$$\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=\left({\frac {\beta }{\pi }}\right)_{3}$ 
• Если $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}=-<!--\; -\; -->1+3(m+n\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$\pi =-1+3(m+n\omega )$  — примарное, то

• ${\left(\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\right)}_3={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{m+n}$$\left({\frac {\omega }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{m+n}$ 
• ${\left(\frac{1-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\right)}_3={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{2m}$$\left({\frac {1-\omega }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{2m}$ 

Список литературыПравить

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва: Мир, 1987.

• Franz Lemmermeyer. Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein. — Springer Verlag, 2000. — ISBN 3-540-66957-4.