Функция распределения (статистическая физика)

Не следует путать с Функция распределения.

Функция статистического распределения (функция распределения в статистической физике) — плотность вероятности в фазовом пространстве. Одно из основополагающих понятий статистической физики. Знание функции распределения полностью определяет вероятностные свойства рассматриваемой системы.

Механическое состояние любой системы однозначно определяется координатами $q_i$$q_{i}$ и импульсами $p_i$$p_{i}$ её частиц (i=1,2,…, d; d — число степеней свободы системы). Набор величин $q\equiv <!--\; \equiv \; -->\left\{q_i\right\}$$q\equiv \left\{q_{i}\right\}$ и $p\equiv <!--\; \equiv \; -->\left\{p_i\right\}$$p\equiv \left\{p_{i}\right\}$ образуют фазовое пространство.

Полная функция статистического распределенияПравить

Вероятность нахождения системы в элементе фазового пространства $\mathrm{d}q\mathrm{d}p\equiv <!--\; \equiv \; -->\underset{i}{\prod <!--\; \prod \; -->}\mathrm{d}{q}_i\mathrm{d}{p}_i$$\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\equiv \prod \limits _{i}\mathrm {d} q_{i}\,\mathrm {d} p_{i}$ , с точкой (q, p) внутри, даётся формулой:

$\mathrm{d}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left(t,q,p\right)\mathrm{d}q\mathrm{d}p(1)$$\mathrm {d} \omega =\rho \!\left(t,q,p\right)\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\qquad (1)$ 

Функцию $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left(t,q,p\right)$$\rho \!\left(t,q,p\right)$  называют полной функцией статистического распределения (или просто функцией распределения). Фактически она представляет собой плотность изображающих точек в фазовом пространстве. Функция $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left(t,q,p\right)$$\rho \!\left(t,q,p\right)$  удовлетворяет условию нормировки:

$\int <!--\; \int \; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left(t,q,p\right)\mathrm{d}q\mathrm{d}p=1,(2)$$\int {\rho \!\left(t,q,p\right)\,\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p}=1,\qquad (2)$ 

причём интеграл берётся по всему фазовому пространству. В соответствующем механике случае система находится в определённом микроскопическом состоянии, то есть обладает заданными $q^{(0)}\equiv <!--\; \equiv \; -->\left\{{q_i}^{(0)}\right\}$${q}^{(0)}\equiv \left\{{q_{i}}^{(0)}\right\}$  и $p^{(0)}\equiv <!--\; \equiv \; -->\left\{{p_i}^{(0)}\right\}$${p}^{(0)}\equiv \left\{{p_{i}}^{(0)}\right\}$ , и тогда

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left(q,p\right)=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\left(q-<!--\; -\; -->q^{(0)}\right)\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\left(p-<!--\; -\; -->p^{(0)}\right),$$\rho \!\left(q,p\right)=\delta \!\left(q-q^{(0)}\right)\,\delta \!\left(p-p^{(0)}\right),$ 

где $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\left(q-<!--\; -\; -->q^{(0)}\right)\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\left(p-<!--\; -\; -->p^{(0)}\right)\equiv <!--\; \equiv \; -->\underset{i}{\prod <!--\; \prod \; -->}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\left(q_i-<!--\; -\; -->{q_i}^{(0)}\right)\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\left(p_i-<!--\; -\; -->{p_i}^{(0)}\right)$$\delta \!\left(q-q^{(0)}\right)\delta \!\left(p-p^{(0)}\right)\equiv \prod \limits _{i}\delta \!\left(q_{i}-{q_{i}}^{(0)}\right)\delta \!\left(p_{i}-{p_{i}}^{(0)}\right)$  (δ — функция Дирака). Помимо самих вероятностей различных микроскопических состояний, функция $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left(t,q,p\right)$$\rho \!\left(t,q,p\right)$  позволяет найти среднее статистическое значение любой физической величины $F\left(t,q,p\right)$$F\!\left(t,q,p\right)$  — функции фазовых переменных q и p:

$⟨\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{F}⟩=\int <!--\; \int \; -->\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{F}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}\mathrm{d}q\mathrm{d}p,$$\left\langle {\hat {F}}\right\rangle =\int {{\hat {F}}\,{\hat {\rho }}\,\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p},$ 

где «крышечка» означает зависимость от фазовых переменных, а скобка — статистическое усреднение.

Разобьём систему на малые, но макроскопические подсистемы. Можно утверждать о статистической независимости таких подсистем вследствие их слабого взаимодействия с окружением (во взаимодействии с окружением принимают участие лишь частицы, близкие к границе подсистемы; в случае макроскопичности подсистемы их число мало по сравнению с полным числом её частиц). Статистическая независимость подсистем приводит к следующему результату для функции распределения

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left(t,q,p\right)=\underset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{(n)}\left(t,q^{(n)},p^{(n)}\right)(3)$$\rho \!\left(t,q,p\right)=\prod \limits _{n}\rho ^{(n)}\!\!\left(t,q^{(n)},p^{(n)}\right)\qquad (3)$ 

Индекс n относится к n-й подсистеме. Каждую из функций ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{(n)}\left(t,q^{(n)},p^{(n)}\right)$$\rho ^{(n)}\!\left(t,q^{(n)},p^{(n)}\right)$  можно считать нормированной в соответствии с условием (2). При этом автоматически будет нормирована и функция $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$ . Понятие о статистической независимости является приближенным. Приближенным в свою очередь является и равенство (3): оно не учитывает корреляции частиц, принадлежащих различным подсистемам. Существенно, однако, что в обычных физических условиях корреляции быстро ослабевают по мере удаления частиц (или групп частиц) друг от друга. Для системы существует характерный параметр — радиус корреляций, вне которого частицы ведут себя статистически независимо. В подсистемах макроскопических размеров подавляющее число частиц одной подсистемы лежит вне радиуса корреляций от частиц другой, и по отношению к этим частицам равенство (3) справедливо.

Математически задание полной функции распределения $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left(t,q,p\right)$$\rho \!\left(t,q,p\right)$  равносильно заданию бесконечного числа независимых величин — её значений на континууме точек фазового пространства колоссальной размерности 2d (для макроскопических систем d ~ $N_A$$N_A$ , где $N_A$$N_A$  — число Авогадро).

Неполное описаниеПравить

В более реальном случае неполного измерения становятся известны вероятности значений или даже средние значения лишь некоторых физических величин $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}\equiv <!--\; \equiv \; -->\left\{{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}}_m\right\}$${\hat {A}}\equiv \left\{{\hat {A}}_{m}\right\}$ . Число их обычно бывает много меньше размерности фазового пространства системы. Функция распределения вероятностей $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left(A\right)$$\rho \!\left(A\right)$  значений $A$$A$  дается равенством

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left(A\right)=\int <!--\; \int \; -->\mathrm{d}q\mathrm{d}p\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\left(A-<!--\; -\; -->\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}\right)\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left(q,p\right),$$\rho \!\left(A\right)=\int {\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\,\delta \!\left(A-{\hat {A}}\right)\rho \!\left(q,p\right)},$ 

где $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\left(A-<!--\; -\; -->\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}\right)\equiv <!--\; \equiv \; -->\underset{m}{\prod <!--\; \prod \; -->}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\left(A_m-<!--\; -\; -->{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}}_m\right)$$\delta \!\left(A-{\hat {A}}\right)\equiv \prod \limits _{m}\delta \!\left(A_{m}-{\hat {A}}_{m}\right)$ . Функция распределения $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left(A\right)$$\rho \!\left(A\right)$  может быть названа неполной. Очевидно, она позволяет найти вероятности значений лишь физических величин $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}\equiv <!--\; \equiv \; -->f\left(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}\right)$${\hat {f}}\equiv f\!\left({\hat {A}}\right)$  , зависимость которых от фазовых переменных осуществляется через $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}$${\hat {A}}$  . Для таких же величин она позволяет найти и средние значения:

$⟨\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}⟩=\int <!--\; \int \; -->\mathrm{d}Af\left(A\right)\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left(A\right),$$\left\langle {\hat {f}}\right\rangle =\int {\mathrm {d} A\,f\!\left(A\right)\,\rho \!\left(A\right)},$ 

где $\mathrm{d}A\equiv <!--\; \equiv \; -->\underset{m}{\prod <!--\; \prod \; -->}\mathrm{d}{A}_m$$\mathrm {d} A\equiv \prod \limits _{m}\mathrm {d} A_{m}$  и интегрирование ведется по всем возможным значениям $A$$A$ . Конечно, средние значения $⟨\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}⟩$$\left\langle {\hat {f}}\right\rangle$  величин $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}$${\hat {f}}$  можно было бы найти с помощью полной функции распределения $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left(t,q,p\right)$$\rho \!\left(t,q,p\right)$ , если бы она была известна. Для функции $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left(A\right)$$\rho \!\left(A\right)$  так же, как и для полной функции распределения, справедливо условие нормировки:

$\int <!--\; \int \; -->\mathrm{d}A\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left(A\right)=1$$\int {\mathrm {d} A\,\rho \!\left(A\right)}=1$ 

Описание системы с помощью функции $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left(A\right)$$\rho \!\left(A\right)$  называется неполным описанием. Конкретными примерами служат описание с помощью функции распределения координат и импульсов отдельных частиц системы или описание с помощью средних значений масс, импульсов и энергий отдельных подсистем всей системы.

Временная эволюция функции распределенияПравить

Временная эволюция функции распределения подчиняется уравнению Лиувилля:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}\left(t\right)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+i{L}_t\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}\left(t\right)=0,(4)$${\frac {\partial {\hat {\rho }}\!\left(t\right)}{\partial t}}+i\,L_{t}\,{\hat {\rho }}\!\left(t\right)=0,\qquad (4)$ 

где $L_t$$L_{t}$  — оператор Лиувилля, действующий в пространстве фазовых функций:

$L_t\cdot <!--\; \cdot \; -->\equiv <!--\; \equiv \; -->-<!--\; -\; -->i\left\{{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}_t,\cdot <!--\; \cdot \; -->\right\}\equiv <!--\; \equiv \; -->-<!--\; -\; -->i\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}_t}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}_j}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_j}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}_t}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_j}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}_j}\right)$$L_{t}\,\cdot \equiv -i\left\{{\hat {H}}_{t},\cdot \right\}\equiv -i\sum \limits _{j}\left({\frac {\partial {\hat {H}}_{t}}{\partial p_{j}}}{\frac {\partial }{\partial q_{j}}}-{\frac {\partial {\hat {H}}_{t}}{\partial q_{j}}}{\frac {\partial }{\partial p_{j}}}\right)$ ,

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}_t$${\hat {H}}_{t}$  — функция Гамильтона системы. В случае, когда оператор Лиувилля не зависит от времени ($L_t=L$$L_{t}=L$ ), решение уравнения (4) имеет вид

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}\left(t\right)=e^{-<!--\; -\; -->itL}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}\left(0\right)(5)$${\hat {\rho }}\!\left(t\right)=e^{-itL}{\hat {\rho }}\!\left(0\right)\qquad (5)$ 

Чтобы использовать (5) для фактического построения решения, нужно знать собственные функции ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}}^{(n)}$${\hat {\psi }}^{(n)}$  и собственные значения $L^{(n)}$$L^{(n)}$  оператора $L$$L$ .

Пользуясь полнотой и ортонормированностью ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}}^{(n)}$${\hat {\psi }}^{(n)}$ , напишем:

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}\left(0\right)=\underset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}{c}_n{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}}^{(n)}$${\hat {\rho }}\!\left(0\right)=\sum \limits _{n}c_{n}{\hat {\psi }}^{(n)}$ ,

где $c_n=\left({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}}^{(n)},\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}\left(0\right)\right)$$c_{n}=\left({\hat {\psi }}^{(n)},{\hat {\rho }}\!\left(0\right)\right)$  (спектр предполагается дискретным). В итоге получим

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}\left(t\right)=\underset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}{e}^{-<!--\; -\; -->i\cdot <!--\; \cdot \; -->t\cdot <!--\; \cdot \; -->L^{(n)}}{c}_n{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}}^{(n)}$${\hat {\rho }}\!\left(t\right)=\sum \limits _{n}e^{-i\cdot t\cdot L^{(n)}}c_{n}\,{\hat {\psi }}^{(n)}$ 

См. такжеПравить

• Частичная функция распределения

ЛитератураПравить

• Гиббс Дж. В. «Основные принципы статистической механики» — М. — Л., 1946. // Переиздано: Изд-во «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 204 с. ISBN 5-93972-127-3.
• Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. В двух томах. — М.: Мир, 1978.
• Березин Ф. А. Лекции по статистической физике. — Москва — Ижевск: Институт. компьютерных исследований, 2002. — 192с. (2-ое изд, испр. Изд-во: МЦНМО, 2008. — 200 с. ISBN 978-5-94057-352-4)
• Боголюбов Н. Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. — М.— Л.: ОГИЗ. Гостехиздат, 1946.
• Боголюбов Н. Н. Избранные труды по статистической физике. — М.: Изд-во МГУ, 1979.
• Боголюбов Н. Н. Собрание научных трудов. В 12 томах. Т. 5: «Неравновесная статистическая механика, 1939—1980». — М.: Наука, 2006. ISBN 5020341428.
• Власов А. А. Нелокальная статистическая механика. — М.: Наука, 1978.
• Зубарев Д. Н., Морозов В. Г., Репке Г. Статистическая механика неравновесных процессов. Том 1. — М.: Физматлит, 2002. — 432 с. ISBN 5-9221-0211-7, ISBN 5-9221-0210-9.
• Пригожин И. Неравновесная статистическая механика. — Изд-во: Едиториал УРСС, 2005. — 312 с. ISBN 5-354-01004-7
• Хинчин А. Я. Математические основания статистической механики. — Изд-во: Регулярная и хаотическая динамика, 2003. — 128с. ISBN 5-93972-273-3
• Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты. — М.: Мир, 1971. — 368с.
• Крылов Н. С. Работы по обоснованию статистической физики. — М.-Л.: Из-во АН СССР, 1950.
• Кубо Р. Статистическая механика. — М.: Мир, 1967.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1. — («Теоретическая физика», том V).
• Терлецкий Я. П. Статистическая физика. (2-е изд.). — М.: Высшая школа, 1973.
• Уленбек Дж., Форд Дж. Лекции по статистической механике. — М.: Мир, 1965.]
• Хуанг К. Статистическая механика. — М.: Мир, 1966.