Фундаментальный дискриминант

Фундаментальный дискриминант D — это целочисленный инвариант в теории целочисленных квадратичных форм от двух переменных (бинарных квадатичных форм). Если $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}$ $Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}$ является квадратичной формой с целыми коэффициентами, то $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $D=b^{2}-4ac$ $D=b^{2}-4ac$ является дискриминантом формы Q(x, y).

Существуют явные условия конгруэнтности, которые дают множество фундаментальных дискриминантов. Конкретно — D является фундаментальным дискриминантом тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия

D ≡ 1 (mod 4) и свободно от квадратов,
D = 4m, где m ≡ 2 или 3 (mod 4) и m и свободно от квадратов.

Первые десять положительных фундаментальных дискриминантов:

1, 5, 8, 12, 13, 17, 21, 24, 28, 29, 33 (последовательность A003658 в OEIS).

Первые десять отрицательных фундаментальных дискриминантов:

−3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, −23, −24, −31 (последовательность A003657 в OEIS).

Связь с квадратными корнямиПравить

Есть связь теории целочисленных бинарных квадратичных форм и арифметикой квадратичных числовых полей. Основное свойство этой связи — D₀ является фундаментальным дискриминантом тогда и только тогда, когда $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $D_{0}=1$ или D₀ является дискриминантом квадратичного числового поля. Существует в точности одно, с точностью до изоморфизма, квадратичное поле для любого фундаментального дискриминанта $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $D_{0}\neq 1$ .

Предупреждение: Существует причина, по которой некоторые авторы не считают 1 фундаментальным дискриминантом — можно рассматривать $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $D_{0}=1$ как вырожденное «квадратичное» поле Q (рациональные числа).

РазложениеПравить

Фундаментальные дискриминанты можно описать их разложением на положительные и отрицательные простые числа. Определим множество

\text{[math]}

S=\{-8,-4,8,-3,5,-7,-11,13,17,-19,\;\ldots \}

,

где простые числа ≡ 1 (mod 4) берутся положительными, а числа, сравнимые с 3, берутся отрицательными. Тогда число $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $D_{0}\neq 1$ является фундаментальным дискриминантом тогда и только тогда, когда оно является произведением взаимно простых членов S.

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

Henri Cohen. A Course in Computational Algebraic Number Theory. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1993. — Т. 138. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 3-540-55640-0.
Duncan Buell. Binary quadratic forms: classical theory and modern computations. — Springer-Verlag, 1989. — С. 69. — ISBN 0-387-97037-1.
Don Zagier. Zetafunktionen und quadratische Körper. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1981. — ISBN 978-3-540-10603-6.